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Terminale STMG

Optimiser un bénéfice avec un discriminant

Énoncé

Un studio édite un jeu vidéo en ligne. Son bénéfice net mensuel, en milliers d'euros, en fonction du prix de vente qq (en euros, avec q∈[5 ; 40]q \in [5\,;\,40]) est modélisé par B(q)=−q3+60 q2−900 q+1 000B(q) = -q^3 + 60\,q^2 - 900\,q + 1\,000. Étudier les variations de BB sur [5 ; 40][5\,;\,40], puis déterminer le prix de vente qui rend le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Dérive terme par terme : la dérivée d'un polynôme de degré 3 est un trinôme du second degré. Tu obtiens B′(q)=−3q2+120q−900.B'(q) = -3q^2 + 120q - 900.
  2. Pour trouver où B′(q)=0B'(q) = 0, calcule le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac du trinôme −3q2+120q−900-3q^2 + 120q - 900 (ici a=−3a = -3, b=120b = 120, c=−900c = -900).
  3. Une fois Δ=3 600\Delta = 3\,600 trouvé, applique q=−b±Δ2aq = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} pour obtenir les deux racines. Puis dresse le signe : un trinôme de coefficient de tête −3<0-3 < 0 est positif entre ses racines et négatif à l'extérieur. Le maximum est là où B′B' passe de ++ à −-.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Dériver

    On dérive terme par terme : (−q3)′=−3q2\big(-q^3\big)' = -3q^2, (60 q2)′=120q\big(60\,q^2\big)' = 120q, (−900 q)′=−900\big(-900\,q\big)' = -900 et la constante 1 0001\,000 a une dérivée nulle. Donc B′(q)=−3q2+120q−900.B'(q) = -3q^2 + 120q - 900.

  2. 2. Calculer le discriminant

    On résout B′(q)=0B'(q) = 0, c'est-à-dire −3q2+120q−900=0-3q^2 + 120q - 900 = 0, un trinôme avec a=−3a = -3, b=120b = 120 et c=−900c = -900. Le discriminant vaut Δ=b2−4ac=1202−4×(−3)×(−900)=14 400−10 800=3 600.\Delta = b^2 - 4ac = 120^2 - 4 \times (-3) \times (-900) = 14\,400 - 10\,800 = 3\,600. Comme Δ>0\Delta > 0, le trinôme admet deux racines distinctes.

  3. 3. Calculer les racines

    Comme Δ=3 600=60\sqrt{\Delta} = \sqrt{3\,600} = 60, les racines sont q1=−b−Δ2a=−120−602×(−3)=−180−6=30q_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-120 - 60}{2 \times (-3)} = \dfrac{-180}{-6} = 30 et q2=−b+Δ2a=−120+60−6=−60−6=10.q_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-120 + 60}{-6} = \dfrac{-60}{-6} = 10. Donc B′B' s'annule en q=10q = 10 et q=30.q = 30.

  4. 4. Étudier le signe de B′

    Le coefficient de tête −3-3 est négatif : d'après la règle du signe d'un trinôme, B′(q)<0B'(q) < 0 à l'extérieur des racines et B′(q)>0B'(q) > 0 entre 1010 et 3030. Ainsi, sur [5 ; 40][5\,;\,40], BB est décroissante sur [5 ; 10][5\,;\,10], croissante sur [10 ; 30][10\,;\,30], puis décroissante sur [30 ; 40][30\,;\,40]. Comme B′B' passe de ++ à −- en q=30q = 30, le bénéfice y admet un maximum.

  5. 5. Calculer le bénéfice maximal

    On calcule B(30)=−303+60×302−900×30+1 000=−27 000+60×900−27 000+1 000.B(30) = -30^3 + 60 \times 30^2 - 900 \times 30 + 1\,000 = -27\,000 + 60 \times 900 - 27\,000 + 1\,000. Or 60×900=54 00060 \times 900 = 54\,000, donc B(30)=−27 000+54 000−27 000+1 000=1 000.B(30) = -27\,000 + 54\,000 - 27\,000 + 1\,000 = 1\,000. Le bénéfice étant exprimé en milliers d'euros, cela représente 1 000×1 000=1 000 0001\,000 \times 1\,000 = 1\,000\,000 €. Le bénéfice est donc maximal pour un prix de vente de 3030 €, et vaut alors 1 0001\,000 milliers d'euros, soit 11 million d'euros.
Réponse finale
q=30 €etBmax⁡=B(30)=1 000 milliers d’eurosq = 30 \text{ €} \quad\text{et}\quad B_{\max} = B(30) = 1\,000 \text{ milliers d'euros}
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