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Rêves Vision
Terminale STMG

Calculer P(X = k) avec une loi binomiale

Énoncé

Une chaîne de production fabrique des pièces dont 4 %4\,\% sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève au hasard un lot de 1515 pièces dans une très grande production et on note XX le nombre de pièces défectueuses du lot. La variable XX suit la loi binomiale B(15 ; 0,04)\mathcal{B}(15\,;\,0{,}04).

Calculer la probabilité que le lot contienne exactement 11 pièce défectueuse, c'est-à-dire P(X=1)P(X = 1). Arrondir au millième.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier les paramètres

    On a X∼B(n ; p)X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p) avec n=15n = 15, p=0,04p = 0{,}04 et 1−p=0,961 - p = 0{,}96. On cherche P(X=k)P(X = k) pour k=1k = 1.

  2. 2. Écrire la formule

    La formule de la loi binomiale donne : P(X=1)=(151) (0,04)1 (0,96)14.P(X = 1) = \dbinom{15}{1}\, (0{,}04)^{1}\,(0{,}96)^{14}.

  3. 3. Calculer les facteurs

    Le coefficient binomial vaut (151)=15\dbinom{15}{1} = 15. La puissance des échecs vaut (0,96)14≈0,564673(0{,}96)^{14} \approx 0{,}564673. On multiplie : P(X=1)=15×0,04×0,564673=0,6×0,564673.P(X = 1) = 15 \times 0{,}04 \times 0{,}564673 = 0{,}6 \times 0{,}564673. (On peut aussi obtenir ce résultat directement à la calculatrice avec binomFdp(15 , 0,04 , 1)\text{binomFdp}(15\,,\,0{,}04\,,\,1).)

  4. 4. Conclure

    On obtient P(X=1)≈0,338804P(X = 1) \approx 0{,}338804, soit P(X=1)≈0,339P(X = 1) \approx 0{,}339 au millième. La probabilité que le lot contienne exactement une pièce défectueuse est d'environ 0,3390{,}339, soit près de 34 %34\,\%.
Réponse finale
P(X=1)=(151) (0,04) (0,96)14≈0,339P(X = 1) = \dbinom{15}{1}\,(0{,}04)\,(0{,}96)^{14} \approx 0{,}339
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