Terminale STMG · Chapitre 3

Probabilités et loi binomiale

Cours de Terminale STMG sur la loi binomiale : variable aléatoire, espérance, schéma de Bernoulli, loi binomiale B(n ; p) et calcul de P(X = k). Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STMG - mathématiques (programme 2019) · Mis à jour en juin 2026

Contrôler des pièces en sortie d’usine, mesurer le taux de réponse à une campagne d’e-mailing, estimer le nombre de clients satisfaits dans un panel : à chaque fois, on répète une même expérience à deux issues (conforme ou non, répond ou pas, satisfait ou pas) et on compte les succès. La loi binomiale est l’outil qui modélise précisément ce type de situation, omniprésent en gestion.

Ce que tu sauras faire

Je sais décrire une variable aléatoire $X$ et donner sa loi de probabilité.
Je sais calculer et interpréter l’espérance $E(X)$ .
Je sais reconnaître un schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques et indépendantes à deux issues.
Je sais identifier les paramètres $n$ et $p$ et écrire que $X \sim \mathcal{B}(n \,;\, p)$ .
Je sais calculer $P(X = k)$ avec la formule et à la calculatrice.
Je sais calculer l’espérance d’une loi binomiale avec $E(X) = np$ et l’interpréter dans un contexte de gestion.

À quoi ça sert ?

La loi binomiale est partout dès qu’on compte des succès sur un échantillon. En contrôle qualité, elle donne la probabilité d’avoir un certain nombre de pièces défectueuses dans un lot et permet de décider si on accepte ou non une livraison. En marketing, elle modélise le nombre de réponses « oui » à une offre selon un taux de réponse connu, ce qui aide à dimensionner une campagne. En étude de satisfaction, elle estime le nombre de clients satisfaits dans un panel. C’est donc un outil de décision au quotidien dans une entreprise.

1. Variable aléatoire et loi de probabilité

Variable aléatoire

On associe à chaque issue d’une expérience aléatoire un nombre. La règle qui réalise cette association s’appelle une variable aléatoire, souvent notée $X$ .

L’ensemble des valeurs prises par $X$ est noté $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ .

Une variable aléatoire en gestion

Dans un lot de $4$ pièces contrôlées, on note $X$ le nombre de pièces défectueuses. Alors $X$ peut prendre les valeurs $0$ , $1$ , $2$ , $3$ ou $4$ : c’est une variable aléatoire.

Loi de probabilité

Donner la loi de probabilité de $X$ , c’est associer à chaque valeur $x_i$ sa probabilité $p_i = P(X = x_i)$ . On la présente dans un tableau :

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$P(X = x_i)$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$

La somme de toutes les probabilités vaut toujours $1$ : $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$ .

Espérance

L’espérance de $X$ est la moyenne des valeurs prises par $X$ , pondérée par leurs probabilités :

$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n$

Elle représente la valeur moyenne attendue de $X$ si l’on répète un grand nombre de fois l’expérience.

Calculer une espérance

Le nombre $X$ de réclamations reçues par jour dans un service suit la loi :

$x_i$	$0$	$1$	$2$
$P(X = x_i)$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}2$

L’espérance vaut : $E(X) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}2 = 0{,}7.$ En moyenne, le service reçoit donc $0{,}7$ réclamation par jour.

2. Le schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues :

le succès $S$ , de probabilité $p$ ;
l’échec $\bar{S}$ , de probabilité $1 - p$ .

Une épreuve de Bernoulli en contrôle qualité

Une machine produit des pièces dont $3\,\%$ sont défectueuses. Prélever une pièce et regarder si elle est défectueuse est une épreuve de Bernoulli de succès « la pièce est défectueuse », avec $p = 0{,}03$ et $1 - p = 0{,}97$ .

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli :

identiques : la probabilité de succès $p$ est la même à chaque épreuve ;
indépendantes : le résultat d’une épreuve n’influence pas les autres.

Reconnaître un schéma de Bernoulli

On prélève $20$ pièces dans une très grande production où $3\,\%$ sont défectueuses. Chaque prélèvement a deux issues (défectueuse ou non) avec la même probabilité $p = 0{,}03$ , et comme la production est très grande, on considère les prélèvements indépendants. On a donc un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}03$ .

3. La loi binomiale

Loi binomiale

On répète un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les $n$ épreuves.

On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , ce que l’on note :

$X \sim \mathcal{B}(n \,;\, p)$

La variable $X$ peut prendre toutes les valeurs entières de $0$ à $n$ .

Probabilité d'obtenir k succès

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, (1 - p)^{\,n - k}$

On reconnaît trois facteurs :

$\dbinom{n}{k}$ : le nombre de chemins menant à $k$ succès (le coefficient binomial « $k$ parmi $n$ ») ;
$p^{k}$ : la probabilité des $k$ succès ;
$(1 - p)^{\,n - k}$ : la probabilité des $n - k$ échecs.

Calculer P(X = k) à la calculatrice

En Terminale STMG, on obtient $P(X = k)$ directement à la calculatrice, sans poser le calcul à la main :

Casio : menu STAT puis DIST → BINM → Bpd (probabilité ponctuelle), on saisit $x = k$ , Numtrial $= n$ et $p$ .
TI : touche 2nde puis distrib → binomFdp( (ou binompdf(), on saisit binomFdp(n , p , k).

Pour une probabilité du type $P(X \leqslant k)$ , on utilise la version cumulée (Bcd sur Casio, binomFRép/binomcdf sur TI).

Espérance d'une loi binomiale

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ , son espérance est :

$E(X) = n\,p$

C’est le nombre moyen de succès attendu sur les $n$ répétitions. Par exemple, sur des lots de $200$ pièces dont $3\,\%$ sont défectueuses, on attend en moyenne $E(X) = 200 \times 0{,}03 = 6$ pièces défectueuses par lot.

Résoudre un problème avec la loi binomiale

Vérifier qu’on a bien un schéma de Bernoulli : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.
Identifier les paramètres : le nombre d’épreuves $n$ et la probabilité de succès $p$ . Conclure que $X \sim \mathcal{B}(n \,;\, p)$ .
Repérer la valeur $k$ cherchée et traduire la question : $P(X = k)$ , $P(X \leqslant k)$ ou un événement contraire.
Calculer la probabilité (formule ou calculatrice), puis arrondir comme demandé et conclure par une phrase dans le contexte.

Probabilité en contrôle qualité

Dans la production précédente ( $3\,\%$ de pièces défectueuses), on prélève $n = 20$ pièces, donc $X \sim \mathcal{B}(20 \,;\, 0{,}03)$ . Quelle est la probabilité d’avoir exactement $2$ pièces défectueuses ?

$P(X = 2) = \binom{20}{2}\, (0{,}03)^{2}\, (0{,}97)^{18}.$

À la calculatrice : $P(X = 2) \approx 0{,}0988$ , soit environ $9{,}9\,\%$ .

Les pièges classiques

FAUX : écrire $P(X = k) = p^{k}$ en oubliant le coefficient $\dbinom{n}{k}$ et la puissance des échecs.

VRAI : la formule complète est $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{\,n - k}$ . Les trois facteurs sont indispensables.

Autres pièges :

Ne pas confondre l’exposant de $p$ (c’est $k$ , les succès) et celui de $1 - p$ (c’est $n - k$ , les échecs).
Vérifier que les épreuves sont indépendantes : un tirage sans remise dans un petit lot ne donne pas une loi binomiale.
« Au moins un » se traite par le contraire : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)$ , et non en additionnant tous les cas.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Loi de probabilité d'un pack de cartes

Dans le mode Ultimate Team d'un jeu de football, l'ouverture d'un pack contient toujours $3$ joueurs. On note $X$ le nombre de joueurs « rares » obtenus dans un pack. D'après les statistiques de l'éditeur, la loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :

| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $0{,}40$ | $0{,}35$ | $0{,}20$ | $0{,}05$ |

1. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
2. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte.

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Loi de probabilité et espérance

Une entreprise interroge ses clients qui attribuent une note de satisfaction $X$ allant de $1$ à $4$ . La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :

| $x_i$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $0{,}1$ | $0{,}2$ | $0{,}3$ | $0{,}4$ |

Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, puis calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

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Reconnaître un schéma de Bernoulli

Une entreprise envoie une offre commerciale par e-mail à $10$ clients pris au hasard dans un très grand fichier. D'après ses statistiques, chaque client a une probabilité $p = 0{,}15$ de répondre à l'offre, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de clients qui répondent.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres $n$ et $p$ .

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Calculer P(X = k) avec une loi binomiale

Une chaîne de production fabrique des pièces dont $4\,\%$ sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève au hasard un lot de $15$ pièces dans une très grande production et on note $X$ le nombre de pièces défectueuses du lot. La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(15\,;\,0{,}04)$ .

Calculer la probabilité que le lot contienne exactement $1$ pièce défectueuse, c'est-à-dire $P(X = 1)$ . Arrondir au millième.

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Espérance et probabilité d'au moins une réponse

Lors d'une campagne d'e-mailing, une entreprise contacte $50$ prospects pris au hasard. Chaque prospect a une probabilité $p = 0{,}12$ de répondre, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de prospects qui répondent. La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}12)$ .

1. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.
2. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une réponse, c'est-à-dire $P(X \geqslant 1)$ . Arrondir au millième.

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Vidéos virales sur un réseau

Un créateur de contenu publie $12$ vidéos courtes sur un réseau social pendant un mois. D'après son historique, chaque vidéo a une probabilité $p = 0{,}25$ de devenir « virale » (dépasser $100\,000$ vues), indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de vidéos virales sur le mois. La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(12\,;\,0{,}25)$ .

1. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement $3$ vidéos virales, c'est-à-dire $P(X = 3)$ . Arrondir au millième.

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Bonus

Problème de contrôle qualité (loi binomiale)

Un fournisseur livre des composants électroniques par lots. On sait que $20\,\%$ des composants sont défectueux, indépendamment les uns des autres. Un atelier prélève au hasard $25$ composants dans un lot et note $X$ le nombre de composants défectueux.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
2. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter.
3. L'atelier accepte le lot si le prélèvement contient au plus $2$ composants défectueux. Calculer la probabilité $P(X \leqslant 2)$ que le lot soit accepté (arrondir au millième).

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Retours dans une boutique de sneakers

Une boutique en ligne de sneakers expédie une commande à $30$ clients pris au hasard. D'après son historique, chaque article expédié a une probabilité $p = 0{,}10$ d'être retourné (mauvaise pointure, changement d'avis), indépendamment des autres. On note $X$ le nombre d'articles retournés sur ces $30$ commandes.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
2. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter.
3. Le service logistique déclenche un contrôle qualité dès qu'il y a au moins $4$ retours. Calculer la probabilité $P(X \geqslant 4)$ que le contrôle soit déclenché (arrondir au millième).

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un schéma de Bernoulli en Terminale STMG ?

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes qui n'ont chacune que deux issues : un succès, de probabilité p, et un échec, de probabilité 1 moins p. Par exemple, prélever 20 pièces dans une production et regarder à chaque fois si la pièce est défectueuse forme un schéma de Bernoulli.

Comment calculer P(X = k) avec une loi binomiale à la calculatrice ?

Si X suit la loi binomiale B(n ; p), alors P(X = k) vaut le coefficient binomial k parmi n, multiplié par p puissance k, multiplié par 1 moins p puissance n moins k. En Terminale STMG, on obtient directement ce résultat à la calculatrice avec la fonction de loi binomiale (binomFdp ou équivalent) en saisissant n, p et k.

Quelle est l'espérance d'une loi binomiale et comment l'interpréter ?

Pour une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B(n ; p), l'espérance vaut E(X) = n multiplié par p. Elle représente le nombre moyen de succès attendu sur les n répétitions. Par exemple, sur des lots de 200 pièces dont 3 pour cent sont défectueuses, on attend en moyenne E(X) = 200 multiplié par 0,03 = 6 pièces défectueuses par lot.