Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale STMG

Espérance et probabilité d'au moins une réponse

Énoncé

Lors d'une campagne d'e-mailing, une entreprise contacte 5050 prospects pris au hasard. Chaque prospect a une probabilité p=0,12p = 0{,}12 de répondre, indépendamment des autres. On note XX le nombre de prospects qui répondent. La variable XX suit la loi binomiale B(50 ; 0,12)\mathcal{B}(50\,;\,0{,}12).

1. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter le résultat.
2. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une réponse, c'est-à-dire P(X⩾1)P(X \geqslant 1). Arrondir au millième.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer l'espérance

    Pour une loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p), l'espérance vaut E(X)=n pE(X) = n\,p. Ici n=50n = 50 et p=0,12p = 0{,}12, donc E(X)=50×0,12=6.E(X) = 50 \times 0{,}12 = 6.

  2. 2. Interpréter l'espérance

    E(X)=6E(X) = 6 : sur un grand nombre de campagnes de 5050 prospects, l'entreprise peut espérer en moyenne 66 réponses par campagne.

  3. 3. Passer par l'événement contraire

    L'événement « au moins une réponse » (X⩾1X \geqslant 1) est le contraire de « aucune réponse » (X=0X = 0). On écrit donc : P(X⩾1)=1−P(X=0).P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0). C'est plus rapide que d'additionner tous les cas de 11 à 5050.

  4. 4. Calculer P(X = 0)

    Avec la formule binomiale et k=0k = 0 : P(X=0)=(500) (0,12)0 (0,88)50.P(X = 0) = \dbinom{50}{0}\,(0{,}12)^{0}\,(0{,}88)^{50}. Or (500)=1\dbinom{50}{0} = 1 et (0,12)0=1(0{,}12)^{0} = 1, donc P(X=0)=(0,88)50≈0,001675.P(X = 0) = (0{,}88)^{50} \approx 0{,}001675.

  5. 5. Conclure

    On en déduit : P(X⩾1)=1−0,001675=0,998325≈0,998.P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}001675 = 0{,}998325 \approx 0{,}998. La probabilité d'obtenir au moins une réponse est d'environ 0,9980{,}998, soit presque 100 %100\,\% : il est quasiment certain que la campagne génère au moins une réponse.
Réponse finale
E(X)=50×0,12=6 ;P(X⩾1)=1−(0,88)50≈0,998E(X) = 50 \times 0{,}12 = 6\ ;\quad P(X \geqslant 1) = 1 - (0{,}88)^{50} \approx 0{,}998
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Probabilités et loi binomiale ← Retour au cours

À suivre