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Terminale STMG Approfondissement gratuit

Problème de contrôle qualité (loi binomiale)

Énoncé

Un fournisseur livre des composants électroniques par lots. On sait que 20 %20\,\% des composants sont défectueux, indépendamment les uns des autres. Un atelier prélève au hasard 2525 composants dans un lot et note XX le nombre de composants défectueux.

1. Justifier que XX suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
2. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter.
3. L'atelier accepte le lot si le prélèvement contient au plus 22 composants défectueux. Calculer la probabilité P(X⩽2)P(X \leqslant 2) que le lot soit accepté (arrondir au millième).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Identifie d'abord le succès, sa probabilité pp et le nombre d'épreuves nn, puis écris que X∼B(n ; p)X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p).
  2. Pour « au plus 22 pièces défectueuses », traduis l'événement : X⩽2X \leqslant 2 signifie X=0X = 0 ou X=1X = 1 ou X=2X = 2.
  3. À la calculatrice, P(X⩽2)P(X \leqslant 2) s'obtient directement avec la loi binomiale cumulée (binomFReˊp(25 , 0,2 , 2)\text{binomFRép}(25\,,\,0{,}2\,,\,2)), ou en additionnant P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la loi de X

    Pour chaque composant prélevé, deux issues : le succès « le composant est défectueux », de probabilité p=0,2p = 0{,}2, et l'échec, de probabilité 1−p=0,81 - p = 0{,}8. Les prélèvements sont identiques et indépendants (lot prélevé au hasard, proportion fixée). On répète n=25n = 25 fois, donc X∼B(25 ; 0,2).X \sim \mathcal{B}(25\,;\,0{,}2).

  2. 2. Calculer et interpréter l'espérance

    L'espérance vaut E(X)=n p=25×0,2=5.E(X) = n\,p = 25 \times 0{,}2 = 5. Sur un grand nombre de prélèvements de 2525 composants, l'atelier compte en moyenne 55 composants défectueux par prélèvement.

  3. 3. Traduire l'événement « au plus 2 défectueux »

    « Au plus 22 » signifie X⩽2X \leqslant 2, c'est-à-dire X=0X = 0, X=1X = 1 ou X=2X = 2. Ces événements étant incompatibles : P(X⩽2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).P(X \leqslant 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).

  4. 4. Calculer chaque probabilité

    Avec la formule P(X=k)=(25k) (0,2)k (0,8)25−kP(X = k) = \dbinom{25}{k}\,(0{,}2)^{k}\,(0{,}8)^{25 - k} (ou la calculatrice) :

    - P(X=0)=(0,8)25≈0,003778P(X = 0) = (0{,}8)^{25} \approx 0{,}003778 ;
    - P(X=1)=(251) (0,2) (0,8)24=25×0,2×(0,8)24≈0,023612P(X = 1) = \dbinom{25}{1}\,(0{,}2)\,(0{,}8)^{24} = 25 \times 0{,}2 \times (0{,}8)^{24} \approx 0{,}023612 ;
    - P(X=2)=(252) (0,2)2 (0,8)23=300×0,04×(0,8)23≈0,070835.P(X = 2) = \dbinom{25}{2}\,(0{,}2)^{2}\,(0{,}8)^{23} = 300 \times 0{,}04 \times (0{,}8)^{23} \approx 0{,}070835.

  5. 5. Conclure

    On additionne : P(X⩽2)≈0,003778+0,023612+0,070835=0,098225≈0,098.P(X \leqslant 2) \approx 0{,}003778 + 0{,}023612 + 0{,}070835 = 0{,}098225 \approx 0{,}098. La probabilité que le lot soit accepté est d'environ 0,0980{,}098, soit près de 9,8 %9{,}8\,\% : avec un taux de défaut de 20 %20\,\%, le lot a très peu de chances d'être accepté.
Réponse finale
X∼B(25 ; 0,2),E(X)=5,P(X⩽2)≈0,098X \sim \mathcal{B}(25\,;\,0{,}2),\quad E(X) = 5,\quad P(X \leqslant 2) \approx 0{,}098
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