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Terminale STMG

Retours dans une boutique de sneakers

Énoncé

Une boutique en ligne de sneakers expédie une commande à 3030 clients pris au hasard. D'après son historique, chaque article expédié a une probabilité p=0,10p = 0{,}10 d'être retourné (mauvaise pointure, changement d'avis), indépendamment des autres. On note XX le nombre d'articles retournés sur ces 3030 commandes.

1. Justifier que XX suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
2. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter.
3. Le service logistique déclenche un contrôle qualité dès qu'il y a au moins 44 retours. Calculer la probabilité P(X⩾4)P(X \geqslant 4) que le contrôle soit déclenché (arrondir au millième).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par identifier le succès, sa probabilité pp et le nombre d'épreuves nn, puis écris que X∼B(n ; p)X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p).
  2. « Au moins 44 retours » signifie X⩾4X \geqslant 4. Plutôt que d'additionner les cas de 44 à 3030, passe par l'événement contraire : P(X⩾4)=1−P(X⩽3)P(X \geqslant 4) = 1 - P(X \leqslant 3).
  3. À la calculatrice, P(X⩽3)P(X \leqslant 3) s'obtient avec la loi binomiale cumulée (binomFReˊp(30 , 0,10 , 3)\text{binomFRép}(30\,,\,0{,}10\,,\,3)), ou en additionnant P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la loi de X

    Pour chaque article expédié, il y a deux issues : le succès « l'article est retourné », de probabilité p=0,10p = 0{,}10, et l'échec « l'article est conservé », de probabilité 1−p=0,901 - p = 0{,}90. Les commandes sont prises au hasard avec une proportion fixée, donc les épreuves sont identiques et indépendantes. On répète n=30n = 30 fois, donc X∼B(30 ; 0,10).X \sim \mathcal{B}(30\,;\,0{,}10).

  2. 2. Calculer et interpréter l'espérance

    L'espérance d'une loi binomiale vaut E(X)=n pE(X) = n\,p, donc E(X)=30×0,10=3.E(X) = 30 \times 0{,}10 = 3. Sur un grand nombre de séries de 3030 commandes, la boutique enregistre en moyenne 33 retours par série.

  3. 3. Passer par l'événement contraire

    « Au moins 44 retours » signifie X⩾4X \geqslant 4. C'est le contraire de « au plus 33 retours », c'est-à-dire X⩽3X \leqslant 3. D'après la propriété de l'événement contraire : P(X⩾4)=1−P(X⩽3).P(X \geqslant 4) = 1 - P(X \leqslant 3). C'est bien plus rapide que d'additionner tous les cas de 44 à 3030.

  4. 4. Calculer chaque probabilité de X au plus 3

    On a X⩽3X \leqslant 3 si X=0X = 0, X=1X = 1, X=2X = 2 ou X=3X = 3. Avec la formule P(X=k)=(30k) (0,10)k (0,90)30−kP(X = k) = \dbinom{30}{k}\,(0{,}10)^{k}\,(0{,}90)^{30 - k} (ou la calculatrice) :

    - P(X=0)=(0,90)30≈0,042391P(X = 0) = (0{,}90)^{30} \approx 0{,}042391 ;
    - P(X=1)=(301) (0,10) (0,90)29=3×(0,90)29≈0,141304P(X = 1) = \dbinom{30}{1}\,(0{,}10)\,(0{,}90)^{29} = 3 \times (0{,}90)^{29} \approx 0{,}141304 ;
    - P(X=2)=(302) (0,10)2 (0,90)28=4,35×(0,90)28≈0,227656P(X = 2) = \dbinom{30}{2}\,(0{,}10)^{2}\,(0{,}90)^{28} = 4{,}35 \times (0{,}90)^{28} \approx 0{,}227656 ;
    - P(X=3)=(303) (0,10)3 (0,90)27=4,06×(0,90)27≈0,236088.P(X = 3) = \dbinom{30}{3}\,(0{,}10)^{3}\,(0{,}90)^{27} = 4{,}06 \times (0{,}90)^{27} \approx 0{,}236088.

  5. 5. Additionner puis prendre le contraire

    On additionne : P(X⩽3)≈0,042391+0,141304+0,227656+0,236088=0,647439.P(X \leqslant 3) \approx 0{,}042391 + 0{,}141304 + 0{,}227656 + 0{,}236088 = 0{,}647439. On en déduit : P(X⩾4)=1−0,647439=0,352561≈0,353.P(X \geqslant 4) = 1 - 0{,}647439 = 0{,}352561 \approx 0{,}353.

  6. 6. Conclure

    La probabilité que le contrôle qualité soit déclenché est d'environ 0,3530{,}353, soit près de 35,3 %35{,}3\,\% : sur une série de 3030 commandes, le service logistique a un peu plus d'une chance sur trois de devoir lancer un contrôle.
Réponse finale
X∼B(30 ; 0,10),E(X)=3,P(X⩾4)=1−P(X⩽3)≈0,353X \sim \mathcal{B}(30\,;\,0{,}10),\quad E(X) = 3,\quad P(X \geqslant 4) = 1 - P(X \leqslant 3) \approx 0{,}353
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