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Rêves Vision
Terminale STMG

Vidéos virales sur un réseau

Énoncé

Un créateur de contenu publie 1212 vidéos courtes sur un réseau social pendant un mois. D'après son historique, chaque vidéo a une probabilité p=0,25p = 0{,}25 de devenir « virale » (dépasser 100 000100\,000 vues), indépendamment des autres. On note XX le nombre de vidéos virales sur le mois. La variable XX suit la loi binomiale B(12 ; 0,25)\mathcal{B}(12\,;\,0{,}25).

1. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter le résultat.
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 33 vidéos virales, c'est-à-dire P(X=3)P(X = 3). Arrondir au millième.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer et interpréter l'espérance

    Pour une loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p), l'espérance vaut E(X)=n pE(X) = n\,p. Ici n=12n = 12 et p=0,25p = 0{,}25, donc E(X)=12×0,25=3.E(X) = 12 \times 0{,}25 = 3. Sur un grand nombre de mois, le créateur obtient en moyenne 33 vidéos virales par mois.

  2. 2. Identifier les paramètres et la valeur cherchée

    On a X∼B(n ; p)X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p) avec n=12n = 12, p=0,25p = 0{,}25 et 1−p=0,751 - p = 0{,}75. On cherche P(X=k)P(X = k) pour k=3k = 3.

  3. 3. Écrire la formule

    La formule de la loi binomiale donne : P(X=3)=(123) (0,25)3 (0,75)9.P(X = 3) = \dbinom{12}{3}\,(0{,}25)^{3}\,(0{,}75)^{9}.

  4. 4. Calculer les facteurs

    Le coefficient binomial vaut (123)=220\dbinom{12}{3} = 220. On a aussi (0,25)3=0,015625(0{,}25)^{3} = 0{,}015625 et (0,75)9≈0,075085(0{,}75)^{9} \approx 0{,}075085. On multiplie : P(X=3)=220×0,015625×0,075085.P(X = 3) = 220 \times 0{,}015625 \times 0{,}075085. (On peut aussi obtenir ce résultat directement à la calculatrice avec binomFdp(12 , 0,25 , 3)\text{binomFdp}(12\,,\,0{,}25\,,\,3).)

  5. 5. Conclure

    On effectue : 220×0,015625=3,4375220 \times 0{,}015625 = 3{,}4375, puis 3,4375×0,075085≈0,258104.3{,}4375 \times 0{,}075085 \approx 0{,}258104. Soit P(X=3)≈0,258P(X = 3) \approx 0{,}258 au millième. La probabilité d'obtenir exactement 33 vidéos virales sur le mois est d'environ 0,2580{,}258, soit près de 25,8 %25{,}8\,\%.
Réponse finale
P(X=3)=(123) (0,25)3 (0,75)9≈0,258P(X = 3) = \dbinom{12}{3}\,(0{,}25)^{3}\,(0{,}75)^{9} \approx 0{,}258
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