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Rêves Vision
Terminale

Concentration de la durée moyenne d'une session de jeu

Énoncé

Sur un jeu en ligne, la durée (en minutes) d'une session d'un joueur est modélisée par une variable aléatoire d'espérance μ=45\mu = 45 min et de variance V=144V = 144 (en min2\text{min}^2). Un studio analyse un échantillon de n=64n = 64 sessions indépendantes et calcule la durée moyenne M64M_{64}. Majorer la probabilité P(∣M64−45∣≥3)P(|M_{64} - 45| \geq 3) que la durée moyenne observée s'écarte de 4545 min d'au moins 33 min, puis interpréter.

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  1. 1. Rappeler l'inégalité de concentration

    Pour la moyenne MnM_n d'un échantillon de taille nn, d'espérance μ\mu et de variance VV, et pour tout réel a>0a > 0 : P(∣Mn−μ∣≥a)≤Vn a2.P(|M_n - \mu| \geq a) \leq \dfrac{V}{n\,a^2}.

  2. 2. Identifier les données

    Ici μ=45\mu = 45, V=144V = 144, n=64n = 64 et l'écart vaut a=3a = 3 (car la probabilité porte sur ∣M64−45∣≥3|M_{64} - 45| \geq 3). On a bien a>0a > 0, donc l'inégalité s'applique.

  3. 3. Calculer la majoration

    P(∣M64−45∣≥3)≤Vn a2=14464×32=14464×9=144576=0,25.P(|M_{64} - 45| \geq 3) \leq \dfrac{V}{n\,a^2} = \dfrac{144}{64 \times 3^2} = \dfrac{144}{64 \times 9} = \dfrac{144}{576} = 0{,}25.

  4. 4. Interpréter et conclure

    D'après ce calcul, la probabilité que la durée moyenne de 6464 sessions s'écarte de 4545 min d'au moins 33 min est inférieure ou égale à 0,250{,}25, soit au plus 25 %25\,\%. C'est une borne supérieure : la vraie probabilité est en réalité plus faible, et la durée moyenne observée est donc le plus souvent proche de 4545 min.
Réponse finale
P(∣M64−45∣≥3)≤144576=0,25P(|M_{64} - 45| \geq 3) \leq \dfrac{144}{576} = 0{,}25
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