Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale

Majorer une probabilité avec Bienaymé-Tchebychev

Énoncé

Une variable aléatoire XX a pour espérance μ=10\mu = 10 et pour variance V=4V = 4. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer la probabilité P(∣X−10∣≥4)P(|X - 10| \geq 4).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Rappeler l'inégalité

    Pour une variable aléatoire d'espérance μ\mu et de variance VV, et pour tout réel a>0a > 0 : P(∣X−μ∣≥a)≤Va2.P(|X - \mu| \geq a) \leq \dfrac{V}{a^2}.

  2. 2. Identifier les données

    Ici μ=10\mu = 10, V=4V = 4 et l'écart vaut a=4a = 4 (car la probabilité porte sur ∣X−10∣≥4|X - 10| \geq 4). On a bien a>0a > 0, l'inégalité s'applique.

  3. 3. Calculer la majoration

    P(∣X−10∣≥4)≤Va2=442=416=0,25.P(|X - 10| \geq 4) \leq \dfrac{V}{a^2} = \dfrac{4}{4^2} = \dfrac{4}{16} = 0{,}25.

  4. 4. Conclure

    La probabilité que XX s'écarte de 1010 d'au moins 44 est inférieure ou égale à 0,250{,}25. C'est une borne supérieure : la vraie probabilité peut être bien plus petite.
Réponse finale
P(∣X−10∣≥4)≤416=0,25P(|X - 10| \geq 4) \leq \dfrac{4}{16} = 0{,}25
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Concentration, loi des grands nombres ← Retour au cours

À suivre