Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale

Espérance et écart-type de la taille moyenne de fichiers vidéo

Énoncé

Un créateur de contenu met en ligne des vidéos. La taille (en Mo) d'une vidéo est modélisée par une variable aléatoire d'espérance μ=800\mu = 800 Mo et de variance V=2500V = 2500 (en Mo2\text{Mo}^2). Il publie n=25n = 25 vidéos de façon indépendante ; on note M25=X1+⋯+X2525M_{25} = \dfrac{X_1 + \dots + X_{25}}{25} la taille moyenne de ces vidéos. Calculer E(M25)E(M_{25}) et V(M25)V(M_{25}), puis l'écart-type de M25M_{25}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Rappeler les formules

    Pour la moyenne d'un échantillon de taille nn de paramètres μ\mu et VV : E(Mn)=μE(M_n) = \mu et V(Mn)=Vn.V(M_n) = \dfrac{V}{n}. L'écart-type de MnM_n vaut donc V(Mn).\sqrt{V(M_n)}.

  2. 2. Calculer l'espérance

    L'espérance de la moyenne est celle d'une seule vidéo, donc E(M25)=μ=800E(M_{25}) = \mu = 800 Mo.

  3. 3. Calculer la variance

    La variance est divisée par n=25n = 25 : V(M25)=Vn=250025=100.V(M_{25}) = \dfrac{V}{n} = \dfrac{2500}{25} = 100.

  4. 4. Calculer l'écart-type et conclure

    L'écart-type de M25M_{25} est V(M25)=100=10\sqrt{V(M_{25})} = \sqrt{100} = 10 Mo, alors qu'une seule vidéo a un écart-type de 2500=50\sqrt{2500} = 50 Mo. La taille moyenne reste centrée sur 800800 Mo mais elle est bien moins dispersée qu'une vidéo isolée (écart-type divisé par 55, soit 25\sqrt{25}).
Réponse finale
E(M25)=800etV(M25)=250025=100 : V(M25)=10 MoE(M_{25}) = 800 \quad \text{et} \quad V(M_{25}) = \dfrac{2500}{25} = 100 \ : \ \sqrt{V(M_{25})} = 10 \text{ Mo}
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Concentration, loi des grands nombres ← Retour au cours

À suivre