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Terminale

Appliquer l'inégalité de concentration

Énoncé

On considère un échantillon de taille n=100n = 100 d'une variable aléatoire d'espérance μ=10\mu = 10 et de variance V=4V = 4. On note M100M_{100} la moyenne de l'échantillon. Majorer la probabilité P(∣M100−10∣≥1)P(|M_{100} - 10| \geq 1) que la moyenne observée s'écarte de 1010 d'au moins 11.

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  1. 1. Rappeler l'inégalité de concentration

    Pour la moyenne MnM_n d'un échantillon de taille nn, d'espérance μ\mu et de variance VV, et pour tout réel a>0a > 0 : P(∣Mn−μ∣≥a)≤Vn a2.P(|M_n - \mu| \geq a) \leq \dfrac{V}{n\,a^2}.

  2. 2. Identifier les données

    Ici μ=10\mu = 10, V=4V = 4, n=100n = 100 et l'écart vaut a=1a = 1. La probabilité demandée est bien de la forme P(∣Mn−μ∣≥a)P(|M_n - \mu| \geq a).

  3. 3. Calculer la majoration

    P(∣M100−10∣≥1)≤Vn a2=4100×12=4100=0,04.P(|M_{100} - 10| \geq 1) \leq \dfrac{V}{n\,a^2} = \dfrac{4}{100 \times 1^2} = \dfrac{4}{100} = 0{,}04.

  4. 4. Conclure

    Sur 100100 répétitions, la probabilité que la moyenne M100M_{100} s'écarte de 1010 d'au moins 11 est inférieure ou égale à 0,040{,}04, soit au plus 4 %4\,\%. La moyenne est donc presque sûrement proche de 1010.
Réponse finale
P(∣M100−10∣≥1)≤4100=0,04P(|M_{100} - 10| \geq 1) \leq \dfrac{4}{100} = 0{,}04
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