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Rêves Vision
Terminale

Loi des grands nombres : fréquence d'apparition d'un dé

Énoncé

On lance un grand nombre de fois un dé équilibré à six faces. Pour chaque lancer ii, on pose Xi=1X_i = 1 si on obtient un 66, et Xi=0X_i = 0 sinon. La moyenne Mn=X1+⋯+XnnM_n = \dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n} représente la fréquence d'apparition du 66 sur les nn premiers lancers.

1. Calculer l'espérance μ=E(Xi)\mu = E(X_i) d'un lancer.
2. À l'aide de la loi des grands nombres, expliquer vers quelle valeur se stabilise la fréquence MnM_n quand nn devient grand.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer l'espérance d'un lancer

    XiX_i vaut 11 avec la probabilité P(Xi=1)=16P(X_i = 1) = \dfrac{1}{6} (obtenir un 66) et 00 sinon. Son espérance est donc μ=E(Xi)=1×16+0×56=16≈0,167.\mu = E(X_i) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 0 \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167.

  2. 2. Énoncer la loi des grands nombres

    Les lancers sont indépendants et de même loi. D'après la loi des grands nombres, pour tout écart a>0a > 0 : lim⁡n→+∞P(∣Mn−μ∣≥a)=0.\lim\limits_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geq a) = 0. La moyenne MnM_n se concentre donc autour de μ=16\mu = \dfrac{1}{6}.

  3. 3. Interpréter concrètement

    MnM_n est la fréquence observée du 66. Quand le nombre de lancers nn devient grand, cette fréquence se stabilise autour de 16≈0,167\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167, c'est-à-dire environ 16,7 %16{,}7\,\% : sur 600600 lancers, on obtient en moyenne environ 100100 fois le 66.

  4. 4. Conclure

    La loi des grands nombres justifie l'intuition : la fréquence expérimentale d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois.
Réponse finale
μ=16≈0,167 : Mn se stabilise autour de 16 quand n→+∞\mu = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167 \ : \ M_n \text{ se stabilise autour de } \dfrac{1}{6} \text{ quand } n \to +\infty
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