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Terminale

Profit moyen sur la revente de sneakers (problème)

Énoncé

Un revendeur achète puis revend des paires de sneakers. Le profit (en euros) réalisé sur une paire est modélisé par une variable aléatoire XX d'espérance μ=20\mu = 20 et de variance V=81V = 81 (en euros2\text{euros}^2). Les paires sont revendues de façon indépendante.

1. Pour une seule paire, majorer la probabilité P(∣X−20∣≥15)P(|X - 20| \geq 15) que le profit s'écarte de 2020 euros d'au moins 1515 euros.
2. Le revendeur écoule n=100n = 100 paires et note M100M_{100} le profit moyen par paire. Majorer la probabilité P(∣M100−20∣≥3)P(|M_{100} - 20| \geq 3).
3. À l'aide de la loi des grands nombres, expliquer ce que devient ce profit moyen si le revendeur écoule un très grand nombre de paires.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour une seule paire (question 1), utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev directement sur XX : P(∣X−μ∣≥a)≤Va2P(|X - \mu| \geq a) \leq \dfrac{V}{a^2}, avec a=15a = 15.
  2. Pour la moyenne de 100100 paires (question 2), c'est l'inégalité de concentration qu'il faut : la variance de MnM_n est Vn\dfrac{V}{n}, donc la borne devient Vn a2\dfrac{V}{n\,a^2} avec n=100n = 100 et a=3a = 3.
  3. Pour la question 3, écris la limite lim⁡n→+∞P(∣Mn−μ∣≥a)=0\lim\limits_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geq a) = 0 et conclus que MnM_n se rapproche de μ=20\mu = 20 euros.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Question 1 : appliquer Bienaymé-Tchebychev à une paire

    Pour la variable XX d'espérance μ=20\mu = 20 et de variance V=81V = 81, et pour l'écart a=15>0a = 15 > 0 : P(∣X−20∣≥15)≤Va2=81152=81225=0,36.P(|X - 20| \geq 15) \leq \dfrac{V}{a^2} = \dfrac{81}{15^2} = \dfrac{81}{225} = 0{,}36. Donc sur une seule paire, la probabilité d'un écart d'au moins 1515 euros est au plus 0,360{,}36 : la majoration est grossière, car la variance d'une paire isolée est grande.

  2. 2. Question 2 : passer à la moyenne de l'échantillon

    M100M_{100} est la moyenne d'un échantillon de taille n=100n = 100. D'après l'inégalité de concentration, pour tout réel a>0a > 0 : P(∣Mn−μ∣≥a)≤Vn a2.P(|M_n - \mu| \geq a) \leq \dfrac{V}{n\,a^2}. Ici μ=20\mu = 20, V=81V = 81, n=100n = 100 et l'écart vaut a=3a = 3.

  3. 3. Question 2 : calculer la majoration

    P(∣M100−20∣≥3)≤Vn a2=81100×32=81100×9=81900=0,09.P(|M_{100} - 20| \geq 3) \leq \dfrac{V}{n\,a^2} = \dfrac{81}{100 \times 3^2} = \dfrac{81}{100 \times 9} = \dfrac{81}{900} = 0{,}09. Donc sur 100100 paires, la probabilité que le profit moyen s'écarte de 2020 euros d'au moins 33 euros est au plus 0,090{,}09, soit 9 %9\,\% : en moyennant, on obtient une majoration bien plus fine que pour une paire isolée.

  4. 4. Question 3 : appliquer la loi des grands nombres

    Les profits des paires sont indépendants et de même loi, d'espérance μ=20\mu = 20. D'après la loi des grands nombres, pour tout écart a>0a > 0 : lim⁡n→+∞P(∣Mn−20∣≥a)=0.\lim\limits_{n \to +\infty} P(|M_n - 20| \geq a) = 0. Le profit moyen MnM_n se concentre autour de 2020 euros : en écoulant un très grand nombre de paires, le revendeur peut estimer son profit moyen par paire à environ 2020 euros, avec une probabilité d'écart qui devient négligeable. Sur le long terme, le profit moyen par paire se stabilise donc autour de 2020 euros.
Réponse finale
P(∣X−20∣≥15)≤81225=0,36;P(∣M100−20∣≥3)≤81900=0,09 : Mn→20 euros quand n→+∞P(|X - 20| \geq 15) \leq \dfrac{81}{225} = 0{,}36 \quad ; \quad P(|M_{100} - 20| \geq 3) \leq \dfrac{81}{900} = 0{,}09 \ : \ M_n \to 20 \text{ euros quand } n \to +\infty
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