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Rêves Vision
Terminale

Appliquer le TVI pour prouver l'existence d'une solution

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3+x−1f(x) = x^3 + x - 1. Démontrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0 ; 1][0\,;\,1].

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Justifier la continuité

    ff est une fonction polynôme, donc elle est continue sur R\mathbb{R}, et en particulier sur [0 ; 1][0\,;\,1].

  2. 2. Calculer les valeurs aux bornes

    f(0)=03+0−1=−1f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1 et f(1)=13+1−1=1f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1. On a donc f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0 et f(1)=1>0f(1) = 1 > 0 : les deux valeurs sont de signes contraires.

  3. 3. Conclure par le TVI

    ff est continue sur [0 ; 1][0\,;\,1] et 00 est compris entre f(0)=−1f(0) = -1 et f(1)=1f(1) = 1. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet au moins une solution dans [0 ; 1][0\,;\,1].
Réponse finale
f(x)=0 admet au moins une solution dans [0 ; 1]f(x) = 0 \text{ admet au moins une solution dans } [0\,;\,1]
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