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Terminale

Encadrer la solution par balayage

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3+x−3f(x) = x^3 + x - 3. On admet que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur R\mathbb{R}. Donner un encadrement de α\alpha d'amplitude 0,10{,}1, puis en déduire une valeur approchée de α\alpha au dixième.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Localiser la solution entre deux entiers

    On calcule : f(1)=1+1−3=−1<0f(1) = 1 + 1 - 3 = -1 < 0 et f(2)=8+2−3=7>0f(2) = 8 + 2 - 3 = 7 > 0. La fonction change de signe entre 11 et 22, donc α∈ ]1 ; 2[\alpha \in \, ]1\,;\,2[.

  2. 2. Affiner avec un pas de 0,1

    On poursuit le balayage au dixième : f(1,2)=1,728+1,2−3=−0,072<0f(1{,}2) = 1{,}728 + 1{,}2 - 3 = -0{,}072 < 0 et f(1,3)=2,197+1,3−3=0,497>0f(1{,}3) = 2{,}197 + 1{,}3 - 3 = 0{,}497 > 0. Le changement de signe a lieu entre 1,21{,}2 et 1,31{,}3, donc 1,2<α<1,31{,}2 < \alpha < 1{,}3.

  3. 3. En déduire la valeur approchée

    L'encadrement 1,2<α<1,31{,}2 < \alpha < 1{,}3 est d'amplitude 0,10{,}1. Comme f(1,2)f(1{,}2) est très proche de 00, on retient α≈1,2\alpha \approx 1{,}2 au dixième.
Réponse finale
1,2<α<1,3doncα≈1,21{,}2 < \alpha < 1{,}3 \quad \text{donc} \quad \alpha \approx 1{,}2
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