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Rêves Vision
Terminale

Existence d'une solution pour un réglage de jeu

Énoncé

Pour optimiser le temps de chargement d'un niveau, un développeur règle un paramètre xx (compris entre 11 et 22) dans la configuration de son serveur de jeu. L'écart entre le temps de chargement obtenu et l'objectif visé est modélisé, en dixièmes de seconde, par f(x)=x3−2x−1f(x) = x^3 - 2x - 1 pour x∈[1 ; 2]x \in [1\,;\,2]. L'écart est nul lorsque le réglage est parfait. Démontrer qu'il existe au moins une valeur de xx dans [1 ; 2][1\,;\,2] pour laquelle l'écart est nul, c'est-à-dire telle que f(x)=0f(x) = 0.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Justifier la continuité

    ff est une fonction polynôme, donc elle est continue sur R\mathbb{R}, et en particulier sur l'intervalle [1 ; 2][1\,;\,2].

  2. 2. Calculer les valeurs aux bornes

    On calcule f(1)=13−2×1−1=1−2−1=−2f(1) = 1^3 - 2 \times 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 et f(2)=23−2×2−1=8−4−1=3f(2) = 2^3 - 2 \times 2 - 1 = 8 - 4 - 1 = 3. On a donc f(1)=−2<0f(1) = -2 < 0 et f(2)=3>0f(2) = 3 > 0 : les deux valeurs sont de signes contraires.

  3. 3. Conclure par le TVI

    ff est continue sur [1 ; 2][1\,;\,2] et 00 est compris entre f(1)=−2f(1) = -2 et f(2)=3f(2) = 3. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet au moins une solution dans [1 ; 2][1\,;\,2] : il existe donc un réglage qui annule l'écart.
Réponse finale
f(x)=0 admet au moins une solution dans [1 ; 2]f(x) = 0 \text{ admet au moins une solution dans } [1\,;\,2]
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