Justifier la continuité d'une fonction

$f$ est le quotient des deux fonctions polynômes $u(x) = x^2 + 1$ et $v(x) = x^2 + 2$. Or toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, on a $x^2 \geq 0$, donc $v(x) = x^2 + 2 \geq 2 > 0$. Le dénominateur ne s'annule jamais : $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Le quotient de deux fonctions continues est continu là où le dénominateur ne s'annule pas. Comme $v$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.