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Rêves Vision
Terminale

Rendre une fonction continue en un point

Énoncé

Une appli de streaming calcule un indice de qualité vidéo à l'aide de la fonction ff définie pour x≠1x \neq 1 par f(x)=x2−1x−1f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}, où xx est un facteur de débit. La formule n'a pas de sens pour x=1x = 1 : on souhaite choisir la valeur f(1)=af(1) = a qui rend la fonction ff continue sur R\mathbb{R} tout entier. Déterminer la valeur du réel aa.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Repérer où se pose le problème

    Pour x≠1x \neq 1, le numérateur et le dénominateur sont des polynômes et le dénominateur x−1x - 1 ne s'annule pas : ff est donc continue sur ]−∞ ; 1[]-\infty\,;\,1[ et sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[. Le seul point à examiner est x=1x = 1, où la formule donne 00\dfrac{0}{0}.

  2. 2. Simplifier l'expression de f

    Pour tout x≠1x \neq 1, on factorise le numérateur : x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Donc f(x)=(x−1)(x+1)x−1=x+1f(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1, car x−1≠0x - 1 \neq 0.

  3. 3. Calculer la limite en 1

    On en déduit lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1(x+1)=1+1=2\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2. La fonction se rapproche donc de 22 quand xx tend vers 11.

  4. 4. Conclure sur la valeur de raccord

    ff est continue en 11 si et seulement si lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = f(1), c'est-à-dire a=2a = 2. En posant f(1)=2f(1) = 2, la fonction ff est continue sur R\mathbb{R} : la valeur cherchée est a=2a = 2.
Réponse finale
a=2a = 2
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