Prouver l'unicité d'une solution

$f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur $[1\,;\,2]$.

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1)$. Comme $x^2 + 1 > 0$ pour tout réel $x$, on a $f'(x) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

$f(1) = 1 + 3 - 5 = -1$ et $f(2) = 8 + 6 - 5 = 9$. On a $f(1) = -1 < 0 < 9 = f(2)$, donc $0$ est bien compris entre $f(1)$ et $f(2)$.

$f$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;\,2]$, et $0$ est compris entre $f(1)$ et $f(2)$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $[1\,;\,2]$.