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Terminale

Abonnés TikTok et équation logarithmique

Énoncé

Léa anime un compte TikTok. Elle a remarqué que le nombre xx (en milliers) d'abonnés de son compte et le nombre x−200x - 200 (en milliers) d'abonnés d'un compte concurrent vérifient la relation ln⁡(x)−ln⁡(x−200)=ln⁡3\ln(x) - \ln(x - 200) = \ln 3. Déterminer le nombre xx d'abonnés (en milliers) du compte de Léa.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Domaine de définition

    Chaque argument d'un logarithme doit être strictement positif : il faut x>0x > 0 et x−200>0x - 200 > 0, donc le domaine est x>200x > 200.

  2. 2. Regrouper les logarithmes

    D'après la propriété du quotient, ln⁡(x)−ln⁡(x−200)=ln⁡ ⁣(xx−200)\ln(x) - \ln(x - 200) = \ln\!\left(\dfrac{x}{x - 200}\right). L'équation devient ln⁡ ⁣(xx−200)=ln⁡3\ln\!\left(\dfrac{x}{x - 200}\right) = \ln 3, donc par stricte croissance de ln⁡\ln on a xx−200=3.\dfrac{x}{x - 200} = 3.

  3. 3. Résoudre l'équation

    Comme x>200x > 200, on a x−200>0x - 200 > 0 ; en multipliant les deux membres par x−200x - 200 on obtient x=3(x−200)x = 3(x - 200), donc x=3x−600x = 3x - 600, d'où 600=2x600 = 2x et x=300.x = 300.

  4. 4. Vérifier avec le domaine

    La valeur x=300x = 300 vérifie bien x>200x > 200 : elle convient. Le compte de Léa compte donc 300300 milliers d'abonnés, soit 300 000300\,000 abonnés.
Réponse finale
x=300x = 300
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