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Rêves Vision
Terminale

Tangente et seuil sur un temps de visionnage

Énoncé

Une plateforme de streaming modélise le temps de visionnage cumulé (en milliers d'heures) après xx jours, pour x⩾1x \geqslant 1, par la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[\left]0\,;\,+\infty\right[ par f(x)=5ln⁡xf(x) = 5\ln x. 1) Déterminer une équation de la tangente TT à la courbe de ff au point d'abscisse a=1a = 1. 2) Résoudre l'équation f(x)=5f(x) = 5 et interpréter le résultat.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La dérivée de kln⁡xk\ln x (avec kk constant) est k×1x=kxk \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{k}{x}.
  2. L'équation d'une tangente au point d'abscisse aa est y=f′(a) (x−a)+f(a)y = f'(a)\,(x - a) + f(a) : calcule d'abord f(1)f(1) puis f′(1)f'(1).
  3. Pour résoudre 5ln⁡x=55\ln x = 5, isole ln⁡x\ln x (divise par 55) puis utilise ln⁡x=k  ⟺  x=ek\ln x = k \iff x = e^{k}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la dérivée

    ff est dérivable sur ]0 ; +∞[\left]0\,;\,+\infty\right[ et, comme (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}, on a f′(x)=5×1x=5x.f'(x) = 5 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{x}.

  2. 2. Calculer f(1) et le nombre dérivé f′(1)

    Comme ln⁡1=0\ln 1 = 0, on a f(1)=5ln⁡1=0f(1) = 5\ln 1 = 0. De plus f′(1)=51=5.f'(1) = \dfrac{5}{1} = 5.

  3. 3. Écrire l'équation de la tangente

    La tangente au point d'abscisse a=1a = 1 a pour équation y=f′(1) (x−1)+f(1)y = f'(1)\,(x - 1) + f(1), donc y=5 (x−1)+0y = 5\,(x - 1) + 0, c'est-à-dire y=5x−5.y = 5x - 5.

  4. 4. Résoudre l'équation f(x) = 5

    Sur ]0 ; +∞[\left]0\,;\,+\infty\right[ tous les arguments sont positifs. f(x)=5  ⟺  5ln⁡x=5  ⟺  ln⁡x=1  ⟺  x=e1=e.f(x) = 5 \iff 5\ln x = 5 \iff \ln x = 1 \iff x = e^{1} = e. Comme e≈2,718>0e \approx 2{,}718 > 0, cette solution appartient bien au domaine.

  5. 5. Interpréter

    x=e≈2,718x = e \approx 2{,}718 jours : le temps de visionnage cumulé atteint 55 milliers d'heures un peu avant la fin du troisième jour. La tangente TT a pour équation y=5x−5y = 5x - 5 et le seuil de 55 milliers d'heures est atteint pour x=ex = e jours.
Réponse finale
T:y=5x−5;x=eT : y = 5x - 5 \quad ; \quad x = e
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