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Rêves Vision
Terminale

Centre d'une face de cube et distance au spawn

Énoncé

Sur une map cubique d'un jeu Roblox, on place un repère orthonormé dont l'origine O(0 ; 0 ; 0)O(0\,;\,0\,;\,0) est le point d'apparition (le spawn). Une face carrée du cube a pour sommets P(4 ; 0 ; 0)P(4\,;\,0\,;\,0), Q(4 ; 6 ; 0)Q(4\,;\,6\,;\,0), R(4 ; 6 ; 6)R(4\,;\,6\,;\,6) et S(4 ; 0 ; 6)S(4\,;\,0\,;\,6). Un coffre est posé au centre MM de cette face. Déterminer les coordonnées de MM, puis calculer la distance OMOM du spawn au coffre (les longueurs sont en mètres).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier le centre comme un milieu

    Le centre MM de la face carrée PQRSPQRS est le milieu de la diagonale [PR][PR]. D'après la formule du milieu, chaque coordonnée de MM est la moyenne des coordonnées de PP et de RR.

  2. 2. Calculer les coordonnées de $M$

    M(4+42 ; 0+62 ; 0+62)M\left(\dfrac{4 + 4}{2}\,;\,\dfrac{0 + 6}{2}\,;\,\dfrac{0 + 6}{2}\right), donc M(4 ; 3 ; 3).M(4\,;\,3\,;\,3).

  3. 3. Déterminer les coordonnées de $\vec{OM}$

    Comme OO est l'origine, le vecteur OM⃗\vec{OM} a les mêmes coordonnées que le point MM : OM⃗ (4 ; 3 ; 3).\vec{OM}\,(4\,;\,3\,;\,3).

  4. 4. Appliquer la formule de la norme

    Le repère est orthonormé, donc OM=∥OM⃗∥=42+32+32=16+9+9=34.OM = \|\vec{OM}\| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9 + 9} = \sqrt{34}.

  5. 5. Conclure

    34\sqrt{34} n'est pas un carré parfait : on garde la valeur exacte et on en donne une valeur approchée. Le coffre est au point M(4 ; 3 ; 3)M(4\,;\,3\,;\,3), à une distance OM=34≈5,83OM = \sqrt{34} \approx 5{,}83 m du spawn.
Réponse finale
M(4 ; 3 ; 3)etOM=34≈5,83 mM(4\,;\,3\,;\,3) \quad \text{et} \quad OM = \sqrt{34} \approx 5{,}83 \ \text{m}
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