Terminale · Chapitre 8

Géométrie dans l'espace

Cours de Terminale sur la géométrie dans l'espace : coordonnées d'un point et d'un vecteur, norme, distance, produit scalaire et orthogonalité. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En Terminale, on prolonge à l’espace les outils vus dans le plan. On se place dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})$ : un point et un vecteur sont alors décrits par trois coordonnées, et le produit scalaire permet, là encore, de ramener une question géométrique (longueurs, angles droits) à un simple calcul.

Coordonnées dans l'espace

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})$ , tout point $M$ est repéré par un unique triplet de réels $(x\,;\,y\,;\,z)$ tel que : $\vec{OM} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}$ Le vecteur $\vec{OM}$ a alors les mêmes coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$ que le point $M$ .

Coordonnées d'un vecteur

Pour deux points $A\,(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et $B\,(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)$ , le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées : $\vec{AB}\,\big(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A\big)$ On retrouve la règle du plan, avec une troisième coordonnée obtenue de la même façon.

Norme et distance

Dans un repère orthonormé, la norme d’un vecteur $\vec{u}\,(x\,;\,y\,;\,z)$ est : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ Pour deux points $A$ et $B$ , la distance $AB$ est la norme de $\vec{AB}$ : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Produit scalaire dans l'espace

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\,(x\,;\,y\,;\,z)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y'\,;\,z')$ , alors leur produit scalaire est le nombre réel : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$ Comme dans le plan, $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ .

Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Montrer qu'un triangle est rectangle dans l'espace

Déterminer les coordonnées de deux vecteurs partant du sommet suspecté (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour l’angle en $A$ ).
Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x x' + y y' + z z'$ .
S’il est nul, l’angle en $A$ est droit : le triangle est rectangle en $A$ .

L'erreur à éviter

La formule $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ et l’expression $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ ne sont valables que dans un repère orthonormé. Si le repère ne l’est pas, ces formules sont fausses.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Coordonnées d'un vecteur dans l'espace

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points $A(2\,;\,-1\,;\,4)$ et $B(5\,;\,1\,;\,-2)$ . Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ .

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Norme d'un vecteur et distance entre deux points

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et $B(3\,;\,3\,;\,5)$ . Calculer la distance $AB$ .

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Centre d'une face de cube et distance au spawn

Sur une map cubique d'un jeu Roblox, on place un repère orthonormé dont l'origine $O(0\,;\,0\,;\,0)$ est le point d'apparition (le spawn). Une face carrée du cube a pour sommets $P(4\,;\,0\,;\,0)$ , $Q(4\,;\,6\,;\,0)$ , $R(4\,;\,6\,;\,6)$ et $S(4\,;\,0\,;\,6)$ . Un coffre est posé au centre $M$ de cette face. Déterminer les coordonnées de $M$ , puis calculer la distance $OM$ du spawn au coffre (les longueurs sont en mètres).

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Produit scalaire dans l'espace

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $\vec{u}\,(2\,;\,-1\,;\,3)$ et $\vec{v}\,(1\,;\,4\,;\,2)$ . Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

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Tester l'orthogonalité de deux vecteurs

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $\vec{u}\,(2\,;\,-3\,;\,1)$ et $\vec{v}\,(2\,;\,1\,;\,-1)$ . Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?

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Bonus

Démontrer qu'un triangle de l'espace est rectangle

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1\,;\,0\,;\,1)$ , $B(3\,;\,1\,;\,3)$ et $C(2\,;\,2\,;\,-1)$ . Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

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Pièce imprimée en 3D : parallélogramme ou rectangle ?

Dans un atelier de fabrication, un logiciel de modélisation place dans un repère orthonormé les quatre coins d'une plaque à imprimer en 3D : $A(1\,;\,2\,;\,0)$ , $B(4\,;\,3\,;\,2)$ , $C(3\,;\,5\,;\,3)$ et $D(0\,;\,4\,;\,1)$ . Le technicien doit vérifier la forme du contour $ABCD$ . Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme, puis déterminer s'il s'agit d'un rectangle.

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Régler la position d'un drone pour un angle droit

Un drone filme une session de skate en suivant un rail rectiligne. Dans un repère orthonormé, deux marqueurs au sol sont placés en $A(2\,;\,1\,;\,1)$ et $B(5\,;\,3\,;\,2)$ . Le drone occupe le point $D(t\,;\,3\,;\,1)$ , où le réel $t$ règle sa position le long du rail. Déterminer la valeur de $t$ pour laquelle la droite $(AD)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ , c'est-à-dire pour laquelle $\vec{AD} \perp \vec{AB}$ .

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Comment calculer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace ?

Pour deux points A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA), exactement comme dans le plan mais avec une troisième coordonnée.

Comment calculer la norme d'un vecteur de l'espace ?

Dans un repère orthonormé, si le vecteur u a pour coordonnées (x ; y ; z), alors sa norme vaut la racine carrée de x au carré plus y au carré plus z au carré. La distance AB se calcule avec la même formule appliquée aux coordonnées de AB.

Quelle est la formule du produit scalaire dans l'espace ?

Dans un repère orthonormé, si u (x ; y ; z) et v (x' ; y' ; z'), alors u·v = xx' + yy' + zz'. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ce produit scalaire est nul.