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Terminale

Pièce imprimée en 3D : parallélogramme ou rectangle ?

Énoncé

Dans un atelier de fabrication, un logiciel de modélisation place dans un repère orthonormé les quatre coins d'une plaque à imprimer en 3D : A(1 ; 2 ; 0)A(1\,;\,2\,;\,0), B(4 ; 3 ; 2)B(4\,;\,3\,;\,2), C(3 ; 5 ; 3)C(3\,;\,5\,;\,3) et D(0 ; 4 ; 1)D(0\,;\,4\,;\,1). Le technicien doit vérifier la forme du contour ABCDABCD. Démontrer que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme, puis déterminer s'il s'agit d'un rectangle.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour un parallélogramme, compare AB⃗\vec{AB} et DC⃗\vec{DC} : s'ils ont les mêmes coordonnées, ils sont égaux.
  2. Attention au sens des vecteurs : c'est bien DC⃗\vec{DC} (de DD vers CC) qu'il faut comparer à AB⃗\vec{AB}, pas CD⃗\vec{CD}.
  3. Pour savoir si c'est un rectangle, calcule le produit scalaire de deux côtés consécutifs comme AB⃗⋅AD⃗\vec{AB} \cdot \vec{AD} : il doit être nul pour un angle droit.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Rappeler le critère du parallélogramme

    ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC}. On calcule donc ces deux vecteurs et on compare leurs coordonnées.

  2. 2. Calculer le vecteur $\vec{AB}$

    AB⃗ (4−1 ; 3−2 ; 2−0)=(3 ; 1 ; 2).\vec{AB}\,(4 - 1\,;\,3 - 2\,;\,2 - 0) = (3\,;\,1\,;\,2).

  3. 3. Calculer le vecteur $\vec{DC}$

    DC⃗ (3−0 ; 5−4 ; 3−1)=(3 ; 1 ; 2).\vec{DC}\,(3 - 0\,;\,5 - 4\,;\,3 - 1) = (3\,;\,1\,;\,2).

  4. 4. Conclure pour le parallélogramme

    On a AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC} (mêmes coordonnées), donc le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.

  5. 5. Tester l'angle droit en $A$

    Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si deux côtés consécutifs sont orthogonaux, par exemple AB⃗⊥AD⃗\vec{AB} \perp \vec{AD}. On calcule AD⃗ (0−1 ; 4−2 ; 1−0)=(−1 ; 2 ; 1)\vec{AD}\,(0 - 1\,;\,4 - 2\,;\,1 - 0) = (-1\,;\,2\,;\,1), puis le produit scalaire : AB⃗⋅AD⃗=3×(−1)+1×2+2×1=−3+2+2=1.\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 3 \times (-1) + 1 \times 2 + 2 \times 1 = -3 + 2 + 2 = 1.

  6. 6. Conclure pour le rectangle

    AB⃗⋅AD⃗=1≠0\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 1 \neq 0, donc les côtés [AB][AB] et [AD][AD] ne sont pas perpendiculaires. Le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme, mais ce n'est pas un rectangle.
Réponse finale
AB⃗=DC⃗=(3 ; 1 ; 2)⇒ABCD paralleˊlogramme ; AB⃗⋅AD⃗=1≠0⇒pas un rectangle\vec{AB} = \vec{DC} = (3\,;\,1\,;\,2) \Rightarrow ABCD \text{ parallélogramme} \ ; \ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 1 \neq 0 \Rightarrow \text{pas un rectangle}
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