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Rêves Vision
Terminale

Régler la position d'un drone pour un angle droit

Énoncé

Un drone filme une session de skate en suivant un rail rectiligne. Dans un repère orthonormé, deux marqueurs au sol sont placés en A(2 ; 1 ; 1)A(2\,;\,1\,;\,1) et B(5 ; 3 ; 2)B(5\,;\,3\,;\,2). Le drone occupe le point D(t ; 3 ; 1)D(t\,;\,3\,;\,1), où le réel tt règle sa position le long du rail. Déterminer la valeur de tt pour laquelle la droite (AD)(AD) est perpendiculaire à la droite (AB)(AB), c'est-à-dire pour laquelle AD⃗⊥AB⃗\vec{AD} \perp \vec{AB}.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Deux droites sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc lorsque AD⃗⋅AB⃗=0\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 0.
  2. Le vecteur AD⃗\vec{AD} a une première coordonnée qui contient tt : écris-la sous la forme t−2t - 2 et garde-la telle quelle.
  3. Développe le produit scalaire pour obtenir une équation du premier degré en tt de la forme 3t−2=03t - 2 = 0, puis isole tt.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire l'orthogonalité

    Les droites (AD)(AD) et (AB)(AB) sont perpendiculaires si et seulement si AD⃗⋅AB⃗=0\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 0. On exprime donc les deux vecteurs, puis on résout cette équation d'inconnue tt.

  2. 2. Calculer le vecteur $\vec{AB}$

    AB⃗ (5−2 ; 3−1 ; 2−1)=(3 ; 2 ; 1).\vec{AB}\,(5 - 2\,;\,3 - 1\,;\,2 - 1) = (3\,;\,2\,;\,1).

  3. 3. Exprimer le vecteur $\vec{AD}$ en fonction de $t$

    AD⃗ (t−2 ; 3−1 ; 1−1)=(t−2 ; 2 ; 0).\vec{AD}\,(t - 2\,;\,3 - 1\,;\,1 - 1) = (t - 2\,;\,2\,;\,0). La première coordonnée dépend du réel tt.

  4. 4. Écrire le produit scalaire

    AD⃗⋅AB⃗=(t−2)×3+2×2+0×1=3(t−2)+4=3t−6+4=3t−2.\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (t - 2) \times 3 + 2 \times 2 + 0 \times 1 = 3(t - 2) + 4 = 3t - 6 + 4 = 3t - 2.

  5. 5. Résoudre l'équation

    On cherche tt tel que ce produit scalaire soit nul : 3t−2=03t - 2 = 0, donc 3t=23t = 2, d'où t=23.t = \dfrac{2}{3}.

  6. 6. Vérifier

    Pour t=23t = \dfrac{2}{3}, on a AD⃗ (23−2 ; 2 ; 0)=(−43 ; 2 ; 0)\vec{AD}\,\left(\dfrac{2}{3} - 2\,;\,2\,;\,0\right) = \left(-\dfrac{4}{3}\,;\,2\,;\,0\right), et AD⃗⋅AB⃗=3×(−43)+2×2+0=−4+4=0.\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 3 \times \left(-\dfrac{4}{3}\right) + 2 \times 2 + 0 = -4 + 4 = 0. L'orthogonalité est bien obtenue. Le drone doit se placer en t=23t = \dfrac{2}{3} pour que (AD)(AD) soit perpendiculaire à (AB)(AB).
Réponse finale
AD⃗⋅AB⃗=3t−2=0 ⇒ t=23\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 3t - 2 = 0 \ \Rightarrow\ t = \dfrac{2}{3}
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