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Terminale

Aire sous une courbe positive

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur [0 ; 3][0\,;\,3] par f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. Vérifier que ff est positive sur cet intervalle, puis calculer l'aire A\mathcal{A}, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de ff, l'axe des abscisses et les droites x=0x = 0 et x=3x = 3.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Justifier la positivité

    Pour tout réel xx, x2≥0x^2 \geq 0, donc f(x)=x2+1≥1>0.f(x) = x^2 + 1 \geq 1 > 0. La fonction ff est bien positive sur [0 ; 3][0\,;\,3] : l'aire cherchée est donc égale à ∫03f(x) dx.\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx.

  2. 2. Chercher une primitive

    Par linéarité, une primitive de f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 est F(x)=x33+xF(x) = \dfrac{x^3}{3} + x (une primitive de x2x^2 est x33\dfrac{x^3}{3}, et une primitive de 11 est xx).

  3. 3. Calculer l'intégrale

    ∫03(x2+1) dx=[ x33+x ]03=(333+3)−(033+0)=(9+3)−0.\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx = \left[\,\dfrac{x^3}{3} + x\,\right]_0^3 = \left(\dfrac{3^3}{3} + 3\right) - \left(\dfrac{0^3}{3} + 0\right) = (9 + 3) - 0.

  4. 4. Conclure

    L'aire vaut A=9+3=12\mathcal{A} = 9 + 3 = 12 unités d'aire.
Réponse finale
A=∫03(x2+1) dx=12 u.a.\mathcal{A} = \int_0^3 (x^2 + 1)\,dx = 12\ \text{u.a.}
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