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Rêves Vision
Terminale

Intégrale d'un multiple par linéarité

Énoncé

Sur une chaîne de streaming, le nombre de spectateurs en direct augmente régulièrement pendant le début d'un live : hh heures après le lancement, le débit d'arrivée des spectateurs est modélisé par f(h)=3hf(h) = 3h (en milliers de spectateurs par heure), pour hh compris entre 00 et 44. Le nombre total de spectateurs arrivés durant ces 44 premières heures est donné par ∫043h dh\displaystyle\int_0^4 3h\,dh. Calculer cette intégrale.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Utiliser la linéarité

    D'après la linéarité de l'intégrale, ∫043h dh=3∫04h dh.\displaystyle\int_0^4 3h\,dh = 3\int_0^4 h\,dh. Il suffit donc de chercher une primitive de hh.

  2. 2. Chercher une primitive

    Une primitive de hnh^n est hn+1n+1\dfrac{h^{n+1}}{n+1}. Pour n=1n = 1, une primitive de hh est h22\dfrac{h^2}{2}, donc une primitive de 3h3h est F(h)=3×h22=3h22.F(h) = 3 \times \dfrac{h^2}{2} = \dfrac{3h^2}{2}.

  3. 3. Appliquer le crochet

    ∫043h dh=[ 3h22 ]04=3×422−3×022=3×162−0.\displaystyle\int_0^4 3h\,dh = \left[\,\dfrac{3h^2}{2}\,\right]_0^4 = \dfrac{3 \times 4^2}{2} - \dfrac{3 \times 0^2}{2} = \dfrac{3 \times 16}{2} - 0.

  4. 4. Conclure

    3×162=482=24.\dfrac{3 \times 16}{2} = \dfrac{48}{2} = 24. Au total, 2424 milliers de spectateurs (soit 24 00024\,000 personnes) sont arrivés durant les 44 premières heures du live.
Réponse finale
∫043h dh=24\int_0^4 3h\,dh = 24
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