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Terminale

Recette moyenne d'une boutique en ligne

Énoncé

Une boutique en ligne de sneakers ouvre tous les jours. Le xx-ième jour après une grosse sortie, sa recette quotidienne est modélisée par f(x)=4x+10f(x) = 4x + 10 (en centaines d'euros), pour xx compris entre 00 et 55. Déterminer la recette quotidienne moyenne μ\mu de la boutique sur l'intervalle [0 ; 5][0\,;\,5], puis interpréter ce résultat géométriquement.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La valeur moyenne se calcule avec μ=1b−a∫abf(x) dx\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx : commence par bien identifier aa, bb et donc b−ab - a.
  2. Pour intégrer f(x)=4x+10f(x) = 4x + 10, utilise la linéarité : une primitive de 4x4x est 2x22x^2 et une primitive de 1010 est 10x10x.
  3. Une fois l'intégrale égale à 100100, n'oublie pas de multiplier par 15\dfrac{1}{5} (et non par 55) pour obtenir μ\mu.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Rappeler la formule de la valeur moyenne

    La valeur moyenne de ff sur [a ; b][a\,;\,b] est μ=1b−a∫abf(x) dx.\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx. Ici a=0a = 0 et b=5b = 5, donc b−a=5.b - a = 5.

  2. 2. Chercher une primitive

    Par linéarité, une primitive de f(x)=4x+10f(x) = 4x + 10 est F(x)=4×x22+10x=2x2+10xF(x) = 4 \times \dfrac{x^2}{2} + 10x = 2x^2 + 10x (une primitive de xx est x22\dfrac{x^2}{2}, et une primitive de 1010 est 10x10x).

  3. 3. Calculer l'intégrale

    ∫05(4x+10) dx=[ 2x2+10x ]05=(2×52+10×5)−(2×02+10×0)=(50+50)−0=100.\displaystyle\int_0^5 (4x + 10)\,dx = \left[\,2x^2 + 10x\,\right]_0^5 = \big(2 \times 5^2 + 10 \times 5\big) - \big(2 \times 0^2 + 10 \times 0\big) = (50 + 50) - 0 = 100.

  4. 4. Diviser par la longueur de l'intervalle

    μ=15×∫05(4x+10) dx=15×100=20.\mu = \dfrac{1}{5} \times \displaystyle\int_0^5 (4x + 10)\,dx = \dfrac{1}{5} \times 100 = 20.

  5. 5. Interpréter

    La valeur moyenne vaut μ=20\mu = 20, soit 2 0002\,000 euros par jour. Le rectangle de base [0 ; 5][0\,;\,5] et de hauteur 2020 a la même aire (5×20=1005 \times 20 = 100) que le domaine situé sous la courbe de ff : une recette constante de 2 0002\,000 euros par jour aurait rapporté le même total sur ces 55 jours.
Réponse finale
μ=15∫05(4x+10) dx=20\mu = \dfrac{1}{5}\int_0^5 (4x + 10)\,dx = 20
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