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Rêves Vision
Terminale

Découper une intégrale avec la relation de Chasles

Énoncé

Pendant une mise à jour de jeu, la vitesse de téléchargement varie. Au bout de tt minutes, le débit utilisé est modélisé par f(t)=2tf(t) = 2t (en Go par minute) pour tt compris entre 00 et 66. La taille totale téléchargée entre 00 et 66 minutes est ∫062t dt\displaystyle\int_0^6 2t\,dt, et celle téléchargée durant les 44 premières minutes est ∫042t dt\displaystyle\int_0^4 2t\,dt. À l'aide de la relation de Chasles, déterminer la taille téléchargée entre la 4e4^{\text{e}} et la 6e6^{\text{e}} minute, c'est-à-dire ∫462t dt\displaystyle\int_4^6 2t\,dt.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Énoncer la relation de Chasles

    Pour la fonction continue f(t)=2tf(t) = 2t et le réel c=4c = 4 situé dans l'intervalle, la relation de Chasles donne : ∫062t dt=∫042t dt+∫462t dt.\displaystyle\int_0^6 2t\,dt = \int_0^4 2t\,dt + \int_4^6 2t\,dt. On en déduit ∫462t dt=∫062t dt−∫042t dt.\displaystyle\int_4^6 2t\,dt = \int_0^6 2t\,dt - \int_0^4 2t\,dt.

  2. 2. Calculer l'intégrale sur $[0\,;\,6]$

    Une primitive de 2t2t est F(t)=t2F(t) = t^2 (car F′(t)=2tF'(t) = 2t). Donc ∫062t dt=[ t2 ]06=62−02=36.\displaystyle\int_0^6 2t\,dt = \left[\,t^2\,\right]_0^6 = 6^2 - 0^2 = 36.

  3. 3. Calculer l'intégrale sur $[0\,;\,4]$

    Avec la même primitive F(t)=t2F(t) = t^2 : ∫042t dt=[ t2 ]04=42−02=16.\displaystyle\int_0^4 2t\,dt = \left[\,t^2\,\right]_0^4 = 4^2 - 0^2 = 16.

  4. 4. Conclure par soustraction

    D'après la relation de Chasles, ∫462t dt=36−16=20.\displaystyle\int_4^6 2t\,dt = 36 - 16 = 20. Entre la 4e4^{\text{e}} et la 6e6^{\text{e}} minute, 2020 Go ont été téléchargés.
Réponse finale
∫462t dt=20\int_4^6 2t\,dt = 20
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