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Terminale

Abonnés supplémentaires d'une chaîne de streaming

Énoncé

Une nouvelle chaîne de streaming explose le premier mois, puis ralentit. Le nombre d'abonnés gagnés le mois numéro nn est modélisé par la suite géométrique un=5000×0,8nu_n = 5000 \times 0{,}8^n, pour n≥0n \geq 0. Déterminer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n et préciser si la suite est convergente. Interpréter le résultat pour la chaîne.

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  1. 1. Identifier la raison de la suite géométrique

    La suite est de la forme un=5000×qnu_n = 5000 \times q^n avec pour raison q=0,8q = 0{,}8. Comme −1<0,8<1-1 < 0{,}8 < 1, on est dans le cas où la raison est strictement comprise entre −1-1 et 11.

  2. 2. Limite de la puissance

    D'après la propriété sur les suites géométriques, lorsque −1<q<1-1 < q < 1 on a lim⁡n→+∞qn=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0. Ici q=0,8q = 0{,}8, donc lim⁡n→+∞0,8n=0.\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}8^n = 0.

  3. 3. Limite de la suite complète

    Le facteur 50005000 est une constante. Par produit d'une constante et d'une suite de limite nulle, lim⁡n→+∞un=5000×0=0.\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 5000 \times 0 = 0.

  4. 4. Conclure et interpréter

    La suite (un)(u_n) admet pour limite le réel 00 : elle est donc convergente vers 00. Concrètement, le nombre de nouveaux abonnés gagnés chaque mois se rapproche de 00 : la croissance de la chaîne finit par s'essouffler, mois après mois.
Réponse finale
lim⁡n→+∞5000×0,8n=0 ; (un) converge vers 0\lim_{n \to +\infty} 5000 \times 0{,}8^n = 0 \ ; \ (u_n) \text{ converge vers } 0
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