Capacité de stockage d'un serveur (forme indéterminée)

Quand $n \to +\infty$, on a $n^2 \to +\infty$ et $12n \to +\infty$. La différence $n^2 - 12n$ présente donc la forme indéterminée $\infty - \infty$ : on ne peut pas conclure directement.

Le terme dominant est $n^2$ (la plus grande puissance de $n$). On factorise : $n^2 - 12n = n^2\left(1 - \dfrac{12n}{n^2}\right) = n^2\left(1 - \dfrac{12}{n}\right).$

D'une part $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$. D'autre part $\dfrac{12}{n} \to 0$, donc $1 - \dfrac{12}{n} \to 1 - 0 = 1 > 0.$

Le produit d'un facteur tendant vers $+\infty$ par un facteur tendant vers $1$ (réel strictement positif) tend vers $+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n^2 - 12n) = +\infty.$ La place utilisée ne se stabilise pas : elle augmente indéfiniment. La suite diverge vers $+\infty$, donc le stockage utilisé croît sans limite.