Terminale · Chapitre 7

Limites de suites

Cours de Terminale sur les limites de suites : suite convergente ou divergente, limites de référence, suite géométrique q puissance n, opérations et formes indéterminées.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Suites arithmétiques et géométriques

Étudier la limite d’une suite $(u_n)$ , c’est décrire vers quoi tendent ses termes quand $n$ devient très grand. Trois comportements sont possibles : se stabiliser vers un réel, exploser vers l’infini, ou osciller sans se fixer.

Suite convergente, suite divergente

Dire que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ (réel) signifie que $u_n$ se rapproche autant qu’on veut de $\ell$ quand $n$ devient grand : la suite est convergente.
Si $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ (les termes deviennent infiniment grands), ou si la suite n’a pas de limite, on dit qu’elle est divergente.

Limites de référence

$\lim_{n \to +\infty} n = +\infty \qquad \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \qquad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty \qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ Plus généralement, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$ pour tout entier $k \geq 1$ , et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ .

Limite d'une suite géométrique $q^n$

Tout dépend de la raison $q$ :

si $q > 1$ , alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ ;
si $-1 < q < 1$ , alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ ;
si $q = 1$ , la suite est constante : $q^n = 1$ , donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$ .

Pour $q \leq -1$ , la suite $q^n$ n’a pas de limite (elle oscille).

Opérations sur les limites

Si $(u_n)$ et $(v_n)$ ont des limites, on les combine en général terme à terme :

Somme : $\ell + \ell'$ , et $\ell + \infty = +\infty$ ;
Produit : $\ell \times \ell'$ , et un réel non nul $\times (+\infty)$ donne $\pm\infty$ selon le signe ;
Quotient : $\dfrac{\ell}{\ell'}$ si $\ell' \neq 0$ , et $\dfrac{\ell}{\pm\infty} = 0$ .

Quatre cas restent indéterminés : $\infty - \infty$ , $\ \dfrac{\infty}{\infty}$ , $\ 0 \times \infty$ , $\ \dfrac{0}{0}$ .

Lever une forme indéterminée

Face à une forme indéterminée (souvent un quotient de polynômes en $n$ donnant $\frac{\infty}{\infty}$ , ou une somme donnant $\infty - \infty$ ) : factoriser par le terme dominant, c’est-à-dire la plus grande puissance de $n$ présente, puis simplifier.

Exemple : $u_n = \dfrac{2n^2 + n}{n^2 - 3} = \dfrac{n^2\left(2 + \frac{1}{n}\right)}{n^2\left(1 - \frac{3}{n^2}\right)} = \dfrac{2 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{3}{n^2}} \longrightarrow \dfrac{2}{1} = 2.$

Attention aux conditions sur $q$

La limite de $q^n$ dépend strictement de la position de $q$ par rapport à $-1$ et $1$ . En particulier $q = 1$ donne la limite $1$ (et non $0$ ni $+\infty$ ), et pour $q \leq -1$ il n’y a aucune limite. Ne jamais conclure « $q^n \to 0$ » sans avoir vérifié que $-1 < q < 1$ .

Exercices corrigés

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Abonnés supplémentaires d'une chaîne de streaming

Une nouvelle chaîne de streaming explose le premier mois, puis ralentit. Le nombre d'abonnés gagnés le mois numéro $n$ est modélisé par la suite géométrique $u_n = 5000 \times 0{,}8^n$ , pour $n \geq 0$ . Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$ et préciser si la suite est convergente. Interpréter le résultat pour la chaîne.

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Limite d'une suite convergente

Soit la suite $u_n = 2 + \dfrac{1}{n}$ définie pour $n \geq 1$ . Déterminer sa limite et préciser si la suite est convergente.

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Limite d'une suite polynomiale

On considère la suite définie pour $n \geq 0$ par $u_n = n^2 + 3n$ . Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$ .

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Capacité de stockage d'un serveur (forme indéterminée)

Un hébergeur modélise la capacité de stockage utilisée sur un serveur, en gigaoctets, après $n$ mois par $u_n = n^2 - 12n$ , pour $n \geq 0$ . Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$ . La place utilisée finit-elle par se stabiliser ?

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Limite d'un quotient (forme indéterminée)

Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n + 1}{n + 2}.$

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Limite d'une suite géométrique

Déterminer la limite de chacune des suites géométriques suivantes : $a_n = 0{,}5^n$ et $b_n = 2^n$ .

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Indicateur de marge d'une start-up avec une racine

Une start-up suit un indicateur de marge, en milliers d'euros, donné après $n$ mois par $u_n = \sqrt{n^2 + 6n} - n$ , pour $n \geq 1$ . Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$ et préciser si la suite est convergente.

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Bonus

Limite d'une somme géométrique

Soit $q$ un réel tel que $|q| < 1$ et $q \neq 1$ . On pose $S_n = 1 + q + q^2 + \dots + q^n$ . Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n$ , puis appliquer le résultat à $q = \dfrac{1}{3}.$

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Questions fréquentes

Que signifie qu'une suite est convergente ?

Une suite est convergente lorsqu'elle admet pour limite un réel ℓ : ses termes se rapprochent autant qu'on veut de ℓ quand n devient grand. Si la suite tend vers +∞ ou −∞, ou n'a pas de limite, elle est divergente.

Quelle est la limite d'une suite géométrique q puissance n ?

Tout dépend de q : si q > 1, alors q puissance n tend vers +∞ ; si −1 < q < 1, alors q puissance n tend vers 0 ; si q = 1, la suite est constante égale à 1. Pour q ≤ −1, la suite n'a pas de limite.

Comment lever une forme indéterminée avec une suite ?

Pour une forme « ∞ sur ∞ » ou « ∞ − ∞ », on factorise le numérateur et le dénominateur (ou l'expression) par le terme dominant, c'est-à-dire la plus grande puissance de n, puis on simplifie avant de conclure.