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Terminale Approfondissement gratuit

Limite d'une somme géométrique

Énoncé

Soit qq un réel tel que ∣q∣<1|q| < 1 et q≠1q \neq 1. On pose Sn=1+q+q2+⋯+qnS_n = 1 + q + q^2 + \dots + q^n. Déterminer lim⁡n→+∞Sn\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n, puis appliquer le résultat à q=13.q = \dfrac{1}{3}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Écrire la somme sous forme close

    Pour q≠1q \neq 1, la somme des premiers termes d'une suite géométrique vaut Sn=1+q+⋯+qn=1−qn+11−q.S_n = 1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

  2. 2. Étudier la limite de $q^{n+1}$

    Comme ∣q∣<1|q| < 1, c'est-à-dire −1<q<1-1 < q < 1, on a lim⁡n→+∞qn+1=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^{n+1} = 0 (la condition ∣q∣<1|q| < 1 est ici essentielle).

  3. 3. Passer à la limite dans la forme close

    Le dénominateur 1−q1 - q est une constante non nulle, donc lim⁡n→+∞Sn=1−01−q=11−q.\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{1 - 0}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - q}.

  4. 4. Application numérique

    Pour q=13q = \dfrac{1}{3} (qui vérifie bien ∣q∣<1|q| < 1), on obtient lim⁡n→+∞Sn=11−13=123=32.\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{1}{\frac{2}{3}} = \dfrac{3}{2}.
Réponse finale
lim⁡n→+∞(1+q+⋯+qn)=11−q;pour q=13: 32\lim_{n \to +\infty} \left( 1 + q + \dots + q^n \right) = \dfrac{1}{1 - q} \quad ; \quad \text{pour } q = \tfrac{1}{3} : \ \dfrac{3}{2}
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