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Rêves Vision
Terminale

Limite d'une suite géométrique

Énoncé

Déterminer la limite de chacune des suites géométriques suivantes : an=0,5na_n = 0{,}5^n et bn=2nb_n = 2^n.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Étudier la raison de la première suite

    Pour an=0,5na_n = 0{,}5^n, la raison est q=0,5q = 0{,}5. Comme −1<0,5<1-1 < 0{,}5 < 1, on a lim⁡n→+∞0,5n=0.\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}5^n = 0.

  2. 2. Étudier la raison de la seconde suite

    Pour bn=2nb_n = 2^n, la raison est q=2q = 2. Comme q=2>1q = 2 > 1, on a lim⁡n→+∞2n=+∞.\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^n = +\infty.

  3. 3. Conclure

    La suite (an)(a_n) converge vers 00, tandis que la suite (bn)(b_n) diverge vers +∞+\infty. Tout dépend de la position de qq par rapport à 11.
Réponse finale
lim⁡n→+∞0,5n=0etlim⁡n→+∞2n=+∞\lim_{n \to +\infty} 0{,}5^n = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} 2^n = +\infty
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