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Rêves Vision
Terminale

Indicateur de marge d'une start-up avec une racine

Énoncé

Une start-up suit un indicateur de marge, en milliers d'euros, donné après nn mois par un=n2+6n−nu_n = \sqrt{n^2 + 6n} - n, pour n≥1n \geq 1. Déterminer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n et préciser si la suite est convergente.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Face à une différence du type A−n\sqrt{A} - n qui donne ∞−∞\infty - \infty, pense à multiplier et diviser par l'expression conjuguée A+n\sqrt{A} + n.
  2. Au numérateur, sers-toi de l'identité (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2 : le carré de n2+6n\sqrt{n^2 + 6n} vaut simplement n2+6nn^2 + 6n.
  3. Au dénominateur, factorise la racine par nn : pour n>0n > 0, n2+6n=n1+6n\sqrt{n^2 + 6n} = n\sqrt{1 + \frac{6}{n}}. Tu pourras ensuite simplifier par nn.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Repérer la forme indéterminée

    Quand n→+∞n \to +\infty, on a n2+6n→+∞\sqrt{n^2 + 6n} \to +\infty et n→+∞n \to +\infty. La différence n2+6n−n\sqrt{n^2 + 6n} - n présente donc la forme indéterminée ∞−∞\infty - \infty.

  2. 2. Multiplier par l'expression conjuguée

    On multiplie et divise par la quantité conjuguée n2+6n+n\sqrt{n^2 + 6n} + n, qui n'est jamais nulle ici. En utilisant l'identité (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2, le numérateur devient (n2+6n)2−n2=(n2+6n)−n2=6n\left(\sqrt{n^2 + 6n}\right)^2 - n^2 = (n^2 + 6n) - n^2 = 6n. Ainsi un=6nn2+6n+n.u_n = \dfrac{6n}{\sqrt{n^2 + 6n} + n}.

  3. 3. Factoriser la racine par le terme dominant

    Pour n≥1n \geq 1, donc n>0n > 0, on a n2+6n=n2(1+6n)=n1+6n.\sqrt{n^2 + 6n} = \sqrt{n^2\left(1 + \dfrac{6}{n}\right)} = n\sqrt{1 + \dfrac{6}{n}}. Le dénominateur s'écrit alors n1+6n+n=n(1+6n+1).n\sqrt{1 + \dfrac{6}{n}} + n = n\left(\sqrt{1 + \dfrac{6}{n}} + 1\right).

  4. 4. Simplifier par n

    On simplifie le facteur nn présent en haut et en bas : un=6nn(1+6n+1)=61+6n+1.u_n = \dfrac{6n}{n\left(\sqrt{1 + \frac{6}{n}} + 1\right)} = \dfrac{6}{\sqrt{1 + \frac{6}{n}} + 1}.

  5. 5. Passer à la limite et conclure

    Comme 6n→0\dfrac{6}{n} \to 0, on a 1+6n→1=1\sqrt{1 + \dfrac{6}{n}} \to \sqrt{1} = 1, donc le dénominateur tend vers 1+1=21 + 1 = 2. Par quotient, lim⁡n→+∞un=62=3.\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{6}{2} = 3. La limite est le réel 33. La suite (un)(u_n) est convergente vers 33 : l'indicateur de marge se stabilise autour de 33 milliers d'euros.
Réponse finale
lim⁡n→+∞(n2+6n−n)=3 ; (un) converge vers 3\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right) = 3 \ ; \ (u_n) \text{ converge vers } 3
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