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Rêves Vision
Terminale

Stockage cloud et forme u′ sur u

Énoncé

La vitesse de remplissage d'un espace de stockage cloud est modélisée pour x≥0x \geq 0 (en heures) par f(x)=2xx2+1f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1} (en Go par heure). La quantité de données stockées FF est la primitive de ff telle que F(0)=0F(0) = 0. Déterminer FF.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La fonction est un quotient : repère le numérateur et le dénominateur, et demande-toi si le numérateur ressemble à la dérivée du dénominateur.
  2. Pose u(x)=x2+1u(x) = x^2 + 1 et calcule u′(x)u'(x). Tu devrais retrouver exactement le numérateur de ff.
  3. Une primitive de u′u\dfrac{u'}{u} (avec u>0u > 0) est ln⁡(u)\ln(u). N'oublie pas la constante +k+ k, puis utilise F(0)=0F(0) = 0 pour la déterminer.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître une forme connue

    On pose u(x)=x2+1u(x) = x^2 + 1, qui est strictement positif sur R\mathbb{R}. Sa dérivée est u′(x)=2xu'(x) = 2x, donc f(x)=u′(x)u(x)f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}. Or une primitive de u′u\dfrac{u'}{u} est ln⁡(u)\ln(u) lorsque u>0.u > 0.

  2. 2. Écrire la forme générale des primitives

    D'après ce qui précède, F(x)=ln⁡(x2+1)+kF(x) = \ln(x^2 + 1) + k, avec k∈R.k \in \mathbb{R}.

  3. 3. Utiliser la condition F(0) = 0

    On calcule F(0)=ln⁡(02+1)+k=ln⁡(1)+k=0+k=kF(0) = \ln(0^2 + 1) + k = \ln(1) + k = 0 + k = k. Or on veut F(0)=0F(0) = 0, donc k=0.k = 0.

  4. 4. Vérifier par dérivation et conclure

    Avec F(x)=ln⁡(x2+1)F(x) = \ln(x^2 + 1), on dérive : F′(x)=2xx2+1=f(x)F'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1} = f(x), et F(0)=0F(0) = 0. Tout est cohérent. La primitive cherchée est F(x)=ln⁡(x2+1)F(x) = \ln(x^2 + 1).
Réponse finale
F(x)=ln⁡(x2+1)F(x) = \ln(x^2 + 1)
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