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Rêves Vision
Terminale

Calculer un cosinus à partir d'un sinus

Énoncé

Pour régler l'inclinaison d'un éclairage qui balaie une scène dans une vidéo TikTok, on calcule l'angle xx d'un faisceau. On sait que sin⁡x=513\sin x = \dfrac{5}{13} avec x∈[ π2 ;π ]x \in \left[\,\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\,\right]. Calculer la valeur exacte de cos⁡x\cos x.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Partir de la relation fondamentale

    Pour tout réel xx, cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1, donc cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x.

  2. 2. Calculer $\cos^2 x$

    cos⁡2x=1−(513)2=1−25169=169169−25169=144169.\cos^2 x = 1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{169}{169} - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}.

  3. 3. Déterminer le signe et conclure

    Donc cos⁡x=±144169=±1213\cos x = \pm\sqrt{\dfrac{144}{169}} = \pm\dfrac{12}{13}. Comme x∈[ π2 ;π ]x \in \left[\,\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\,\right], le point est dans le deuxième quadrant, à gauche de l'axe des ordonnées : son abscisse est négative, donc cos⁡x\cos x est négatif. On retient donc cos⁡x=−1213.\cos x = -\dfrac{12}{13}.
Réponse finale
cos⁡x=−1213\cos x = -\dfrac{12}{13}
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