Terminale · Chapitre 9

Trigonométrie : radian, cercle trigonométrique et valeurs remarquables

Cours de Terminale sur la trigonométrie : radian, cercle trigonométrique, cosinus et sinus, valeurs remarquables et relation fondamentale entre cosinus et sinus. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

La trigonométrie relie les angles aux longueurs et aux coordonnées d’un point. On introduit une nouvelle unité d’angle, le radian, puis on définit le cosinus et le sinus de n’importe quel angle à l’aide du cercle trigonométrique. Quelques valeurs remarquables et une relation fondamentale suffisent ensuite à mener tous les calculs.

Le radian

Le radian (rad) est une unité de mesure des angles. Par définition, l’angle plat vaut $\pi$ radians :

$\pi \text{ rad} = 180°$

La mesure en radians et la mesure en degrés d’un angle sont proportionnelles.

Convertir degrés ↔ radians

On part de la proportion $\pi \text{ rad} = 180°$ :

Degrés → radians : multiplier par $\dfrac{\pi}{180}$ . Exemple : $60° = 60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$ rad.
Radians → degrés : multiplier par $\dfrac{180}{\pi}$ . Exemple : $\dfrac{\pi}{4} \text{ rad} = \dfrac{\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = 45°$ .

Cercle trigonométrique, cosinus et sinus

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , muni d’un sens de parcours direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).

À un réel $x$ on associe le point $M$ du cercle tel que l’angle orienté $\big(\vec{OI}\,;\vec{OM}\big)$ ait pour mesure $x$ radians (où $I$ est le point de coordonnées $(1\,;0)$ ). Alors :

le cosinus de $x$ , noté $\cos x$ , est l’abscisse de $M$ ;
le sinus de $x$ , noté $\sin x$ , est l’ordonnée de $M$ .

Ainsi $M$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$ .

Encadrement du cosinus et du sinus

Le point $M$ étant sur le cercle de rayon $1$ , ses coordonnées sont comprises entre $-1$ et $1$ . Donc, pour tout réel $x$ :

$-1 \leq \cos x \leq 1 \qquad \text{et} \qquad -1 \leq \sin x \leq 1$

Valeurs remarquables

Les angles les plus utilisés ont des cosinus et sinus à connaître par cœur :

$x$ (rad)	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

Astuce : quand l’angle augmente de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$ , le cosinus diminue de $1$ à $0$ tandis que le sinus augmente de $0$ à $1$ .

Relation fondamentale

Pour tout réel $x$ :

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Cette égalité provient du théorème de Pythagore appliqué au point $M(\cos x\,;\sin x)$ du cercle de rayon $1$ . On note $\cos^2 x = (\cos x)^2$ et $\sin^2 x = (\sin x)^2$ .

Calculer un sinus à partir d'un cosinus

Pour trouver $\sin x$ connaissant $\cos x$ :

Isoler $\sin^2 x$ dans la relation fondamentale : $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ .
En déduire $\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$ .
Choisir le signe selon la position de l’angle : le sinus est positif si $M$ est au-dessus de l’axe des abscisses, négatif s’il est en dessous.

Les pièges classiques

$\cos^2 x$ signifie $(\cos x)^2$ , pas $\cos(x^2)$ .
Ne pas confondre les unités : $\dfrac{\pi}{3}$ rad $= 60°$ , ce n’est pas « $\pi$ divisé par $3$ degrés ».
Quand on écrit $\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$ , ne jamais oublier de trancher le signe à l’aide du cercle.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Conversion d'angles pour la rotation d'un sprite

Dans un mini-jeu codé sur Roblox, un personnage tourne sur lui-même. Le moteur graphique utilise les degrés, mais ta fonction mathématique attend des radians. Convertir $72°$ et $225°$ en radians, puis convertir l'angle $\dfrac{7\pi}{6}$ rad renvoyé par ta fonction en degrés.

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Convertir entre degrés et radians

Convertir $30°$ et $135°$ en radians, puis convertir $\dfrac{5\pi}{6}$ rad en degrés.

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Cosinus et sinus d'angles remarquables

Donner les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{3}$ , $\sin\dfrac{\pi}{3}$ , $\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$ .

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Calculer un cosinus à partir d'un sinus

Pour régler l'inclinaison d'un éclairage qui balaie une scène dans une vidéo TikTok, on calcule l'angle $x$ d'un faisceau. On sait que $\sin x = \dfrac{5}{13}$ avec $x \in \left[\,\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\,\right]$ . Calculer la valeur exacte de $\cos x$ .

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Calculer un sinus avec cosinus au carré de x plus sinus au carré de x égale 1

On sait que $\cos x = \dfrac{3}{5}$ avec $x \in \left[\,0\,;\dfrac{\pi}{2}\,\right]$ . Calculer la valeur exacte de $\sin x$ .

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Placer un angle sur le cercle trigonométrique

Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé à l'angle $x = \dfrac{2\pi}{3}$ . Déterminer les coordonnées exactes de $M$ et préciser dans quel quadrant il se situe.

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Bonus

Résoudre cos x = un demi sur [0 ; 2π] (problème)

Résoudre l'équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur l'intervalle $[\,0\,;2\pi\,]$ .

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Résoudre sin x = racine de 3 sur 2 sur [0 ; 2π]

Dans une animation de jeu, la hauteur d'un soleil au-dessus de l'horizon est proportionnelle à $\sin x$ , où $x$ est l'angle de rotation du décor sur un cycle complet $[\,0\,;2\pi\,]$ . On veut connaître les positions où cette hauteur correspond à $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Résoudre l'équation $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sur l'intervalle $[\,0\,;2\pi\,]$ .

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Comment convertir des degrés en radians ?

On utilise la proportionnalité π rad = 180°. Pour passer des degrés aux radians, on multiplie la mesure en degrés par π divisé par 180. Par exemple, 60° = 60 × π divisé par 180, soit π tiers rad.

Que représentent le cosinus et le sinus d'un angle sur le cercle trigonométrique ?

Sur le cercle trigonométrique (de rayon 1), à un angle x on associe un point M. Le cosinus de x est l'abscisse de M et le sinus de x est son ordonnée. On a toujours −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1.

Quelle relation lie le cosinus et le sinus d'un même angle ?

Pour tout réel x, on a la relation fondamentale cosinus au carré de x plus sinus au carré de x égale 1. Elle permet, connaissant le cosinus, de calculer le sinus (au signe près), et inversement.