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Rêves Vision
Terminale

Résoudre sin x = racine de 3 sur 2 sur [0 ; 2π]

Énoncé

Dans une animation de jeu, la hauteur d'un soleil au-dessus de l'horizon est proportionnelle à sin⁡x\sin x, où xx est l'angle de rotation du décor sur un cycle complet [ 0 ;2π ][\,0\,;2\pi\,]. On veut connaître les positions où cette hauteur correspond à sin⁡x=32\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Résoudre l'équation sin⁡x=32\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} sur l'intervalle [ 0 ;2π ][\,0\,;2\pi\,].
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Cherche d'abord dans le tableau des valeurs remarquables quel angle de [ 0 ;2π ][\,0\,;2\pi\,] a pour sinus 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  2. Le sinus est l'ordonnée sur le cercle : trace la droite horizontale d'ordonnée 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}, elle coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe vertical.
  3. Le second angle s'obtient avec π−π3\pi - \dfrac{\pi}{3}. Pense à vérifier que chaque solution est bien dans [ 0 ;2π ][\,0\,;2\pi\,] en recalculant son sinus.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Reconnaître une valeur remarquable

    On cherche les angles dont le sinus vaut 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}. D'après le tableau des valeurs remarquables, sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} : l'angle π3\dfrac{\pi}{3} est donc une solution sur [ 0 ;2π ][\,0\,;2\pi\,].

  2. 2. Chercher l'autre solution avec le cercle

    Sur le cercle trigonométrique, le sinus est l'ordonnée du point. Deux points ont la même ordonnée 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} : ils sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical). Au point π3\dfrac{\pi}{3} correspond donc un second angle π−π3=3π3−π3=2π3\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}, qui appartient bien à [ 0 ;2π ][\,0\,;2\pi\,].

  3. 3. Vérifier les deux solutions et conclure

    Contrôle : sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, et sin⁡2π3=sin⁡(π−π3)=sin⁡π3=32.\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Les deux valeurs conviennent ; entre 2π3\dfrac{2\pi}{3} et 2π2\pi le sinus reste strictement inférieur à 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}, donc il n'y a pas d'autre solution. L'ensemble des solutions est S={ π3 ; 2π3 }.S = \left\{\ \dfrac{\pi}{3}\ ;\ \dfrac{2\pi}{3}\ \right\}.
Réponse finale
S={ π3 ; 2π3 }S = \left\{\ \dfrac{\pi}{3}\ ;\ \dfrac{2\pi}{3}\ \right\}
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