PGCD et fraction irréductible

$126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$.

Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun avec son plus petit exposant. Les facteurs communs sont $2$ (exposant $1$) et $3$ (exposant $2$) : $\text{PGCD}(126\,;\,90) = 2 \times 3^2 = 18.$

On divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD, soit $18$ : $\dfrac{126}{90} = \dfrac{7 \times 18}{5 \times 18} = \dfrac{7}{5}.$

$7$ est premier et ne divise pas $5$ : les nombres $7$ et $5$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$, donc $\dfrac{7}{5}$ est bien irréductible.