PGCD par l'algorithme d'Euclide et fraction irréductible

L'algorithme d'Euclide repose sur la propriété suivante : le PGCD de deux nombres est égal au PGCD du plus petit et du reste de la division du plus grand par le plus petit. On répète les divisions jusqu'à obtenir un reste nul ; le dernier reste non nul est le PGCD.

On divise le plus grand par le plus petit : $120 = 84 \times 1 + 36.$ Le reste est $36$.

On recommence avec $84$ et le reste $36$ : $84 = 36 \times 2 + 12.$ Le reste est $12$.

On recommence avec $36$ et le reste $12$ : $36 = 12 \times 3 + 0.$ Le reste est nul, donc on s'arrête. Le dernier reste non nul est $12$ : $\text{PGCD}(120\,;\,84) = 12.$

On divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD, soit $12$ : $\dfrac{84}{120} = \dfrac{7 \times 12}{10 \times 12} = \dfrac{7}{10}.$

$7$ et $10$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ (on a divisé par le PGCD), donc la fraction est irréductible. $\text{PGCD}(120\,;\,84) = 12$ et la forme irréductible de $\dfrac{84}{120}$ est $\dfrac{7}{10}$.