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Rêves Vision
Troisième

Comparer deux forfaits mobile et trouver le point d'égalité

Énoncé

Un opérateur propose deux forfaits mobile selon le nombre xx de gigaoctets (Go) de données consommés dans le mois. Forfait Liberté : 22 € par Go consommé, sans abonnement. Forfait Confort : 99 € d'abonnement fixe, puis 0,50{,}5 € par Go consommé. 1) Exprimer le prix mensuel L(x)L(x) du forfait Liberté et le prix mensuel C(x)C(x) du forfait Confort en fonction de xx. 2) Préciser laquelle des deux fonctions est linéaire et laquelle est affine. 3) Déterminer par le calcul le nombre de Go pour lequel les deux forfaits coûtent le même prix. 4) À partir de combien de Go consommés le forfait Confort est-il le plus avantageux ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le prix « par Go » est celui qui se répète à chaque gigaoctet : c'est le coefficient directeur (le nombre devant xx). L'abonnement fixe n'est payé qu'une fois, quel que soit xx : c'est l'ordonnée à l'origine bb.
  2. Le point d'égalité des deux prix correspond à L(x)=C(x)L(x) = C(x). Pose l'équation 2x=0,5 x+92x = 0{,}5\,x + 9, puis regroupe les termes en xx d'un côté.
  3. « Confort le plus avantageux » signifie que son prix est plus petit : traduis-le par l'inéquation C(x)<L(x)C(x) < L(x), puis résous-la comme une équation en conservant le sens de l'inégalité.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Modéliser les deux forfaits

    Pour xx gigaoctets consommés (prix en euros) : le forfait Liberté coûte 22 € par Go sans abonnement, donc L(x)=2x.L(x) = 2x. Le forfait Confort coûte 99 € d'abonnement fixe plus 0,50{,}5 € par Go, donc C(x)=0,5 x+9.C(x) = 0{,}5\,x + 9.

  2. 2. Nature de chaque fonction

    L(x)=2xL(x) = 2x est de la forme axax avec a=2a = 2 et b=0b = 0 : c'est une fonction linéaire (sa droite passe par l'origine). C(x)=0,5 x+9C(x) = 0{,}5\,x + 9 est de la forme ax+bax + b avec a=0,5a = 0{,}5 et b=9≠0b = 9 \neq 0 : c'est une fonction affine (sa droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 9)(0\,;\,9)).

  3. 3. Traduire « même prix » par une équation

    Les deux forfaits coûtent le même prix lorsque L(x)=C(x)L(x) = C(x), ce qui donne l'équation : 2x=0,5 x+9.2x = 0{,}5\,x + 9.

  4. 4. Résoudre l'équation

    On regroupe les termes en xx : 2x−0,5 x=9  ⟺  1,5 x=9  ⟺  x=91,5=6.2x - 0{,}5\,x = 9 \iff 1{,}5\,x = 9 \iff x = \dfrac{9}{1{,}5} = 6. Vérification : L(6)=2×6=12L(6) = 2 \times 6 = 12 € et C(6)=0,5×6+9=3+9=12C(6) = 0{,}5 \times 6 + 9 = 3 + 9 = 12 €. ✓ Pour 66 Go consommés, les deux forfaits coûtent exactement le même prix : 1212 €.

  5. 5. Déterminer quand Confort est le plus avantageux

    On cherche les valeurs de xx pour lesquelles C(x)<L(x)C(x) < L(x), soit 0,5 x+9<2x  ⟺  9<2x−0,5 x  ⟺  9<1,5 x  ⟺  x>6.0{,}5\,x + 9 < 2x \iff 9 < 2x - 0{,}5\,x \iff 9 < 1{,}5\,x \iff x > 6. Pour une consommation entière en Go, cela donne x≥7.x \geq 7. Vérification pour x=7x = 7 : C(7)=0,5×7+9=3,5+9=12,5C(7) = 0{,}5 \times 7 + 9 = 3{,}5 + 9 = 12{,}5 € et L(7)=2×7=14L(7) = 2 \times 7 = 14 €, donc C(7)<L(7)C(7) < L(7). ✓ Le forfait Confort devient le plus avantageux à partir de 7 Go consommés ; en dessous de 6 Go, c'est le forfait Liberté qui est le moins cher.
Réponse finale
L(x)=2x,  C(x)=0,5 x+9    ;    meˆme prix pour x=6 Go    ;    Confort plus avantageux aˋ partir de 7 GoL(x) = 2x, \; C(x) = 0{,}5\,x + 9 \;\;;\;\; \text{même prix pour } x = 6 \text{ Go} \;\;;\;\; \text{Confort plus avantageux à partir de } 7 \text{ Go}
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