Troisième · Chapitre 8

Fonctions linéaires et affines

Cours de Troisième sur les fonctions linéaires et affines : coefficient, proportionnalité, image, antécédent, coefficient directeur, ordonnée à l'origine et représentation graphique.

10 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Fonctions linéaires et affines

En troisième, une fonction est une machine qui, à un nombre, en associe un autre. Deux familles reviennent partout : les fonctions linéaires, qui décrivent la proportionnalité (un prix au kilo, une vitesse constante), et les fonctions affines, qui ajoutent un point de départ (un abonnement, des frais fixes). Toutes deux se représentent par une droite.

Fonction linéaire

Une fonction linéaire est définie par $f(x) = ax$ , où $a$ est un nombre fixé appelé coefficient. Elle modélise toute situation de proportionnalité : multiplier $x$ par un nombre multiplie $f(x)$ par ce même nombre.

L’image d’un nombre $x$ est le résultat du calcul $f(x)$ . Un antécédent d’un nombre $y$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = y$ : on le trouve en résolvant l’équation.

Représentation graphique

La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine $O(0\,;\,0)$ . En effet $f(0) = a \times 0 = 0$ , donc le point $(0\,;\,0)$ appartient toujours à la droite.

Déterminer le coefficient

Si $f$ est linéaire et que l’on connaît l’image $f(x)$ d’un nombre $x$ non nul, alors : $a = \frac{f(x)}{x} \qquad (x \neq 0)$

Reconnaître une proportionnalité dans un tableau

Pour chaque colonne, calculer le quotient de la (valeur de sortie) par la (valeur d’entrée).
Si tous les quotients sont égaux, la situation est proportionnelle : c’est une fonction linéaire et le quotient commun est le coefficient $a$ .
Si un quotient diffère des autres, la situation n’est pas proportionnelle.

Fonction affine

Une fonction affine est définie par $f(x) = ax + b$ , où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés. Le nombre $a$ est le coefficient directeur, le nombre $b$ est l’ordonnée à l’origine. C’est le cas général : si $b = 0$ , on retrouve une fonction linéaire.

Représentation graphique

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Elle coupe l’axe des ordonnées au point $(0\,;\,b)$ , car $f(0) = b$ . Si $b \neq 0$ , cette droite ne passe pas par l’origine. Le coefficient directeur $a$ indique l’inclinaison : quand $x$ augmente de $1$ , $f(x)$ varie de $a$ .

Calculer le coefficient directeur (accroissements)

Si la droite passe par deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ d’abscisses différentes, alors : $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ On parle de quotient des accroissements : variation des ordonnées divisée par variation des abscisses.

Déterminer une fonction affine à partir de deux images

On connaît $f(x_1)$ et $f(x_2)$ (deux points de la droite).

Calculer le coefficient directeur : $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
Trouver $b$ en remplaçant $x$ et $f(x)$ par un point connu dans $f(x) = ax + b$ , puis résoudre.
Conclure : $f(x) = ax + b$ . On peut vérifier sur le second point.

Pièges fréquents

Ne pas confondre le coefficient directeur $a$ (l’inclinaison) avec l’ordonnée à l’origine $b$ (le point de départ sur l’axe vertical).
Une fonction affine avec $b \neq 0$ n’est pas proportionnelle : sa droite ne passe pas par l’origine.
Pour les accroissements, respecter le même ordre des points au numérateur et au dénominateur : $y_B - y_A$ va avec $x_B - x_A$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Fonction linéaire : image, antécédent et coefficient

Soit $f$ la fonction linéaire définie par $f(x) = 2{,}5\,x$ . 1) Calculer l'image de $4$ . 2) Déterminer l'antécédent de $15$ . 3) On donne $f(8) = 20$ . Retrouver le coefficient $a$ de la fonction.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Linéaire ou affine ? Calculer des images

On considère les trois fonctions : $f(x) = 4x$ , $\quad g(x) = 4x - 3$ , $\quad h(x) = 7$ . 1) Pour chacune, dire si elle est linéaire, affine (non linéaire) ou affine constante. 2) Calculer $f(3)$ , $g(3)$ et $h(3)$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Abonnement streaming : image, antécédent et nature de la fonction

Une plateforme de streaming facture un abonnement de base de $5$ € par mois, plus $0{,}8$ € par film loué en supplément. Pour $x$ films loués dans le mois, le montant à payer (en euros) est $f(x) = 0{,}8\,x + 5$ . 1) Calculer $f(10)$ et interpréter ce résultat. 2) Un mois, la facture s'élève à $17$ €. Combien de films ont été loués ? 3) Préciser le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $f$ , et dire si $f$ est linéaire ou affine.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Déterminer une fonction affine à partir de deux images

Soit $f$ une fonction affine telle que $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$ . Déterminer l'expression de $f(x)$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Lecture graphique d'une fonction affine

Dans un repère, une fonction affine $f$ est représentée par une droite $d$ qui passe par les points $A(0\,;\,-1)$ et $B(3\,;\,5)$ . 1) Lire l'ordonnée à l'origine $b$ . 2) Calculer le coefficient directeur $a$ , puis donner $f(x)$ . 3) Déterminer par le calcul l'image de $2$ et l'antécédent de $7$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Reconnaître la proportionnalité dans un tableau (forfaits data)

Deux opérateurs facturent une recharge de données mobiles selon le nombre de gigaoctets (Go) achetés. Offre SoundFlow : $3$ Go pour $9$ €, $6$ Go pour $18$ €, $10$ Go pour $30$ €. Offre BeatZone : $3$ Go pour $11$ €, $6$ Go pour $17$ €, $10$ Go pour $25$ €. 1) Pour chaque offre, dire si le prix est proportionnel au nombre de Go. 2) Pour l'offre proportionnelle, donner la fonction linéaire $\ell$ qui exprime le prix en fonction du nombre $x$ de Go, puis calculer le prix de $7$ Go.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Trouver une fonction affine à partir d'un tableau, puis image et antécédent

On admet qu'une fonction $f$ est affine. Voici un tableau de quelques valeurs : pour $x = 1$ on a $f(x) = 5$ , et pour $x = 4$ on a $f(x) = 11$ . 1) Déterminer l'expression de $f(x)$ . 2) Calculer l'image de $6$ par $f$ . 3) Déterminer l'antécédent de $21$ par $f$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Comparer deux forfaits mobile et trouver le point d'égalité

Un opérateur propose deux forfaits mobile selon le nombre $x$ de gigaoctets (Go) de données consommés dans le mois. Forfait Liberté : $2$ € par Go consommé, sans abonnement. Forfait Confort : $9$ € d'abonnement fixe, puis $0{,}5$ € par Go consommé. 1) Exprimer le prix mensuel $L(x)$ du forfait Liberté et le prix mensuel $C(x)$ du forfait Confort en fonction de $x$ . 2) Préciser laquelle des deux fonctions est linéaire et laquelle est affine. 3) Déterminer par le calcul le nombre de Go pour lequel les deux forfaits coûtent le même prix. 4) À partir de combien de Go consommés le forfait Confort est-il le plus avantageux ?

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Comparer deux offres de streaming (sans engagement ou premium)

Une plateforme de streaming propose deux offres pour $x$ mois d'utilisation. Offre Flex : $12$ € par mois, sans frais d'activation. Offre Premium : $30$ € de frais d'activation, puis $6$ € par mois. 1) Exprimer le prix total $F(x)$ de l'offre Flex et le prix total $P(x)$ de l'offre Premium en fonction du nombre $x$ de mois. 2) Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de chaque fonction, et préciser laquelle est linéaire. 3) Dans un même repère, les deux droites se coupent en un point. Déterminer par le calcul le nombre de mois pour lequel les deux offres coûtent le même prix. 4) À partir de combien de mois l'offre Premium est-elle plus avantageuse que l'offre Flex ?

Voir l'exercice corrigé

Bonus

Deux tarifs pour un club de sport (problème)

Un club de sport propose deux formules pour $n$ séances. Tarif A : $15$ € par séance, sans inscription. Tarif B : $60$ € d'inscription, puis $5$ € par séance. 1) Exprimer le prix $A(n)$ et le prix $B(n)$ en fonction de $n$ . 2) Pour chaque tarif, dire s'il s'agit d'une situation de proportionnalité. 3) À partir de combien de séances le tarif B est-il plus avantageux que le tarif A ?

Débloquer l'exercice

Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

Commencer le quiz

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?

Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax : elle traduit une situation de proportionnalité et sa droite passe par l'origine. Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b : c'est le cas général, et sa droite ne passe par l'origine que si b = 0. Toute fonction linéaire est donc une fonction affine particulière (avec b = 0).

Comment calculer le coefficient d'une fonction linéaire ?

Si f est linéaire et qu'on connaît un nombre x non nul ainsi que son image f(x), le coefficient vaut a = f(x) divisé par x. Par exemple, si f(4) = 10, alors a = 10 divisé par 4 = 2,5.

Comment reconnaître une situation de proportionnalité avec une fonction ?

Une situation est proportionnelle lorsqu'elle se modélise par une fonction linéaire f(x) = ax. Dans un tableau, on vérifie que le quotient (sortie divisée par entrée) est constant : ce quotient constant est le coefficient a. Si ce quotient change, la situation n'est pas proportionnelle (fonction affine avec b ≠ 0, par exemple).

Fonction linéaire

Fonction affine

Exercices corrigés

Fonction linéaire : image, antécédent et coefficient

Linéaire ou affine ? Calculer des images

Abonnement streaming : image, antécédent et nature de la fonction

Déterminer une fonction affine à partir de deux images

Lecture graphique d'une fonction affine

Reconnaître la proportionnalité dans un tableau (forfaits data)

Trouver une fonction affine à partir d'un tableau, puis image et antécédent

Comparer deux forfaits mobile et trouver le point d'égalité

Comparer deux offres de streaming (sans engagement ou premium)

Deux tarifs pour un club de sport (problème)

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Questions fréquentes

Linéaire ou affine ? Calculer des images