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Rêves Vision
Troisième

La diagonale du tapis de souris carré

Énoncé

Pour son installation gaming, Sofia achète un tapis de souris carré ABCDABCD de côté 3030 cm. Avant de le coller sur son bureau, elle veut connaître la longueur de sa diagonale [AC][AC]. 1. Donner la valeur exacte de ACAC sous la forme aba\sqrt{b}, avec bb entier le plus petit possible. 2. En déduire une valeur approchée de ACAC au dixième de centimètre près (on prendra 2≈1,414\sqrt{2} \approx 1{,}414).
A B C D 30 cm 30 cm
Tapis carré ABCD de côté 30 cm, diagonale [AC]
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Une diagonale du carré le coupe en deux triangles rectangles : repère le triangle ABCABC rectangle en BB, où [AC][AC] est l'hypoténuse.
  2. Applique le théorème de Pythagore avec AB=BC=30AB = BC = 30 cm pour obtenir AC2AC^2, puis prends la racine carrée.
  3. Pour simplifier 1800\sqrt{1800}, fais apparaître le plus grand carré parfait diviseur : 1800=900×21800 = 900 \times 2 et 900=30\sqrt{900} = 30.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Repérer un triangle rectangle

    Dans le carré ABCDABCD, l'angle en BB est droit. Le triangle ABCABC est donc rectangle en BB, avec AB=BC=30AB = BC = 30 cm, et [AC][AC] est son hypoténuse.

  2. 2. Appliquer le théorème de Pythagore

    D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABCABC rectangle en BB : AC2=AB2+BC2=302+302=900+900=1800AC^2 = AB^2 + BC^2 = 30^2 + 30^2 = 900 + 900 = 1800.

  3. 3. Passer à la racine carrée

    Comme ACAC est une longueur positive, on prend la racine carrée : AC=1800AC = \sqrt{1800}.

  4. 4. Simplifier la racine (valeur exacte)

    On cherche le plus grand carré parfait qui divise 18001800 : c'est 900900, car 1800=900×21800 = 900 \times 2. D'après la règle a×b=a×b\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} : AC=900×2=900×2=302AC = \sqrt{900 \times 2} = \sqrt{900} \times \sqrt{2} = 30\sqrt{2} cm.

  5. 5. Donner la valeur approchée

    On remplace 2\sqrt{2} par son approximation : AC=302≈30×1,414≈42,4AC = 30\sqrt{2} \approx 30 \times 1{,}414 \approx 42{,}4 cm. Cette valeur est cohérente : la diagonale est bien plus longue que le côté de 3030 cm. La diagonale mesure exactement 30230\sqrt{2} cm, soit environ 42,442{,}4 cm.
Réponse finale
AC=1800=302≈42,4 cmAC = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \approx 42{,}4 \text{ cm}
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