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Troisième Approfondissement gratuit

Expression avec racines et puissances (bonus)

Énoncé

1. Écrire sous la forme a2a\sqrt{2} l'expression A=8+18+32−50A = \sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{32} - \sqrt{50}. 2. Écrire sous la forme d'une seule puissance, puis calculer, le nombre B=(23)4×2−5(22)3B = \dfrac{\left(2^3\right)^4 \times 2^{-5}}{\left(2^2\right)^3}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Simplifier chaque racine de A

    On fait apparaître le carré parfait dans chacune : 8=4×2=22\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2},  18=9×2=32\ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2},  32=16×2=42\ \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} et 50=25×2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}.

  2. 2. Réduire A

    Tous les termes s'écrivent avec 2\sqrt{2}, on factorise : A=22+32+42−52=(2+3+4−5)2=42A = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = (2 + 3 + 4 - 5)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}.

  3. 3. Réduire le numérateur de B

    On applique les règles sur les puissances. Au numérateur : (23)4=23×4=212\left(2^3\right)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}, puis 212×2−5=212+(−5)=272^{12} \times 2^{-5} = 2^{12 + (-5)} = 2^{7}. Au dénominateur : (22)3=22×3=26\left(2^2\right)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^{6}.

  4. 4. Calculer B

    On termine par le quotient : B=2726=27−6=21=2B = \dfrac{2^{7}}{2^{6}} = 2^{7 - 6} = 2^{1} = 2.
Réponse finale
A=42B=21=2A = 4\sqrt{2} \qquad B = 2^1 = 2
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