Comparer moyenne et médiane de salaires (valeur extrême)

On compte les salaires : il y en a $n = 9.$ La série est déjà rangée dans l'ordre croissant, du plus petit salaire ($1600$ €) au plus grand ($8700$ €), ce qui est nécessaire pour déterminer la médiane.

On additionne tous les salaires : $1600 + 1700 + 1800 + 1900 + 2000 + 2100 + 2200 + 2300 + 8700 = 24300.$ On divise par l'effectif : $\bar{x} = \dfrac{24300}{9} = 2700.$ Le salaire moyen est donc de $2700$ €.

L'effectif $n = 9$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{n+1}{2} = \dfrac{9+1}{2} = 5.$ Le $5^\text{e}$ salaire de la série rangée est $2000.$ Donc la médiane est $M = 2000$ €. Cela signifie qu'au moins la moitié des salariés gagnent au plus $2000$ € et au moins la moitié gagnent au moins $2000$ €.

On constate un écart important : le salaire moyen ($2700$ €) est supérieur de $700$ € au salaire médian ($2000$ €). Cet écart s'explique par le salaire du dirigeant, $8700$ €, qui est une valeur extrême : bien plus élevée que tous les autres. Comme la moyenne additionne toutes les valeurs, cette valeur extrême la « tire » fortement vers le haut. La médiane, elle, ne dépend que de la valeur centrale : elle n'est presque pas modifiée par ce salaire très élevé.

Pour décrire le salaire d'un employé « typique », il vaut mieux utiliser la médiane ($2000$ €) que la moyenne ($2700$ €). En effet, aucun salarié (hormis le dirigeant) ne gagne $2700$ € : la moyenne donne une image trop optimiste de la situation à cause de la valeur extrême. La médiane, peu sensible aux valeurs extrêmes, représente bien mieux le salaire de la majorité des employés.