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Rêves Vision
Troisième

Étude complète d'une série de notes (problème)

Énoncé

Voici la répartition des notes obtenues par les 2020 élèves d'une classe à un contrôle de mathématiques : la note 88 a été obtenue par 22 élèves, la note 1010 par 33 élèves, la note 1212 par 55 élèves, la note 1414 par 66 élèves, la note 1616 par 33 élèves et la note 1818 par 11 élève. 1) Calculer la moyenne de la classe. 2) Déterminer la médiane des notes. 3) Calculer l'étendue. 4) Quel pourcentage d'élèves a obtenu au moins 1414 ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour la moyenne, n'oublie pas que c'est une moyenne pondérée : multiplie chaque note par son effectif avant d'additionner, puis divise par 2020 (le nombre total d'élèves), pas par 66.
  2. Pour la médiane, l'effectif total N=20N = 20 est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs N2=10\dfrac{N}{2} = 10 et N2+1=11\dfrac{N}{2}+1 = 11. Cumule les effectifs pour savoir quelle note occupe les rangs 1010 et 1111.
  3. Pour la dernière question, « au moins 1414 » regroupe les notes 1414, 1616 et 1818 : additionne leurs effectifs, divise par 2020, puis multiplie par 100100.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Vérifier l'effectif total

    On additionne les effectifs : N=2+3+5+6+3+1=20N = 2 + 3 + 5 + 6 + 3 + 1 = 20 élèves. C'est bien le nombre annoncé : ce sera le dénominateur de la moyenne et des fréquences.

  2. 2. Calculer la moyenne pondérée

    On multiplie chaque note par son effectif, puis on additionne : ∑ni xi=8×2+10×3+12×5+14×6+16×3+18×1=16+30+60+84+48+18=256.\sum n_i\, x_i = 8 \times 2 + 10 \times 3 + 12 \times 5 + 14 \times 6 + 16 \times 3 + 18 \times 1 = 16 + 30 + 60 + 84 + 48 + 18 = 256. On divise par l'effectif total : xˉ=25620=12,8.\bar{x} = \dfrac{256}{20} = 12{,}8.

  3. 3. Déterminer la médiane

    L'effectif total N=20N = 20 est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs 1010 et 1111. En cumulant les effectifs, les rangs 11 à 22 correspondent à la note 88, les rangs 33 à 55 à la note 1010, les rangs 66 à 1010 à la note 1212, et les rangs 1111 à 1616 à la note 1414. Donc le 10e10^\text{e} élève a 1212 et le 11e11^\text{e} a 1414 : M=12+142=13.M = \dfrac{12 + 14}{2} = 13.

  4. 4. Calculer l'étendue

    La meilleure note est xmax⁡=18x_{\max} = 18 et la plus basse est xmin⁡=8.x_{\min} = 8. L'étendue vaut eˊtendue=18−8=10\text{étendue} = 18 - 8 = 10 points.

  5. 5. Calculer le pourcentage d'élèves ayant au moins 14

    « Au moins 1414 » regroupe les notes 1414, 1616 et 1818, soit 6+3+1=106 + 3 + 1 = 10 élèves. La fréquence est 1020=0,5\dfrac{10}{20} = 0{,}5, soit 50 %.50\,\%.

  6. 6. Conclure

    La classe a une moyenne de 12,812{,}8 et une médiane de 1313 : ces deux indicateurs sont proches, signe d'une série assez équilibrée, sans note extrême qui tire la moyenne vers le bas. L'étendue de 1010 points montre un écart raisonnable entre la plus faible et la meilleure note. Enfin, la moitié de la classe (50 %50\,\%) a obtenu au moins 1414, ce qui confirme un bon niveau d'ensemble.
Réponse finale
xˉ=25620=12,8  ;  M=12+142=13  ;  eˊtendue=10  ;  au moins 14:50 %\bar{x} = \dfrac{256}{20} = 12{,}8 \;;\; M = \dfrac{12 + 14}{2} = 13 \;;\; \text{étendue} = 10 \;;\; \text{au moins } 14 : 50\,\%
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