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Rêves Vision
Troisième

Agrandissement d'un fanion et nouveau périmètre

Énoncé

Un club de sport possède un petit fanion triangulaire ABCABC dont les côtés mesurent AB=6AB = 6 cm, BC=8BC = 8 cm et AC=5AC = 5 cm. Pour en faire une grande banderole, on réalise un agrandissement de ce triangle dans lequel le plus grand côté, BC=8BC = 8 cm, devient B′C′=24B'C' = 24 cm. Déterminer le coefficient d'agrandissement, puis calculer le périmètre de la banderole.
A B C 6 cm 8 cm 5 cm
Fanion d'origine ABC (avant agrandissement)

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  1. 1. Calculer le coefficient d'agrandissement

    Dans un agrandissement, toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre kk, le coefficient d'agrandissement. On le trouve avec deux côtés qui se correspondent : k=B′C′BC=248=3.k = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{24}{8} = 3. Comme k>1k > 1, il s'agit bien d'un agrandissement.

  2. 2. Calculer le périmètre du fanion d'origine

    Le périmètre du triangle ABCABC est la somme de ses trois côtés : P=AB+BC+AC=6+8+5=19P = AB + BC + AC = 6 + 8 + 5 = 19 cm.

  3. 3. En déduire le périmètre de la banderole

    Le périmètre est une longueur : dans un agrandissement de coefficient kk, il est lui aussi multiplié par kk. Donc P′=k×P=3×19=57P' = k \times P = 3 \times 19 = 57 cm. (On peut vérifier en agrandissant chaque côté : 18+24+15=5718 + 24 + 15 = 57 cm.) La banderole a un périmètre de 57 cm.
Réponse finale
k=248=3etP′=3×19=57 cmk = \dfrac{24}{8} = 3 \quad \text{et} \quad P' = 3 \times 19 = 57 \text{ cm}
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