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Rêves Vision
Troisième

Calculer une longueur en configuration papillon

Énoncé

Les droites (BD)(BD) et (CE)(CE) se coupent en AA. Les points BB et DD sont de part et d'autre de AA, de même que CC et EE : le point AA est donc situé entre les droites (BC)(BC) et (DE)(DE). On sait que (BC)(BC) est parallèle à (DE)(DE) et que AB=4AB = 4 cm, AC=5AC = 5 cm, AD=6AD = 6 cm et BC=3BC = 3 cm. Calculer la longueur DEDE.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Reconnaître la configuration papillon

    Les droites (BD)(BD) et (CE)(CE) sont sécantes en AA, et AA est entre les parallèles (BC)(BC) et (DE)(DE) : c'est la configuration papillon. Le théorème de Thalès s'applique de la même façon que pour le triangle.

  2. 2. Écrire l'égalité des rapports

    Les sommets se correspondent ainsi : B↔DB \leftrightarrow D et C↔EC \leftrightarrow E. D'après le théorème de Thalès : ABAD=ACAE=BCDE.\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}. On garde ABAD=BCDE.\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}.

  3. 3. Remplacer par les valeurs connues

    On remplace : 46=3DE.\dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{DE}.

  4. 4. Résoudre par un produit en croix

    Le produit en croix donne 4×DE=6×34 \times DE = 6 \times 3, donc DE=6×34=184=4,5DE = \dfrac{6 \times 3}{4} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5 cm.
Réponse finale
DE=6×34=4,5 cmDE = \dfrac{6 \times 3}{4} = 4{,}5 \text{ cm}
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