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Rêves Vision
Troisième

Calculer la longueur du segment intérieur

Énoncé

Dans un triangle ABCABC, le point MM appartient au segment [AB][AB] et le point NN au segment [AC][AC]. Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles. On donne AM=3AM = 3 cm, AB=8AB = 8 cm et BC=10BC = 10 cm. Calculer la longueur MNMN.
A B C M N
Triangle ABC, (MN) parallèle à (BC), M sur [AB] et N sur [AC]

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  1. 1. Justifier l'emploi de Thalès

    M∈[AB]M \in [AB], N∈[AC]N \in [AC] et (MN)∥(BC)(MN) \parallel (BC) : c'est la configuration triangle de Thalès, avec le sommet commun AA.

  2. 2. Écrire l'égalité des rapports

    D'après le théorème de Thalès : AMAB=ANAC=MNBC.\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}. On utilise les deux rapports qui contiennent MNMN : AMAB=MNBC.\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}.

  3. 3. Remplacer par les valeurs connues

    On remplace : 38=MN10.\dfrac{3}{8} = \dfrac{MN}{10}.

  4. 4. Résoudre par un produit en croix

    Le produit en croix donne 8×MN=3×108 \times MN = 3 \times 10, donc MN=3×108=308=3,75MN = \dfrac{3 \times 10}{8} = \dfrac{30}{8} = 3{,}75 cm.
Réponse finale
MN=3×108=3,75 cmMN = \dfrac{3 \times 10}{8} = 3{,}75 \text{ cm}
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